题目
设阶非零矩阵 满足 , 则以下说法正确的是( ) A 和 均可逆 B 不可逆 C 不可逆 D 以上选项均不正确
设
阶非零矩阵 
满足 
, 则以下说法正确的是( )
A 
和 
均可逆
B 不可逆
C 不可逆
D 以上选项均不正确
题目解答
答案
令
，则 
代入
得 
；
，所以 
可逆 ，即可逆：同理可验证可逆，选A。
解析
步骤 1：定义矩阵 B
令 $B = A - E$，则 $A = B + E$。
步骤 2：代入 ${A}^{3}=0$
将 $A = B + E$ 代入 ${A}^{3}=0$，得到 $(B + E)^{3} = 0$。
步骤 3：展开 $(B + E)^{3}$
根据二项式定理，$(B + E)^{3} = B^{3} + 3B^{2}E + 3BE^{2} + E^{3}$。
步骤 4：简化表达式
由于 $E^{3} = E$，则 $(B + E)^{3} = B^{3} + 3B^{2} + 3B + E = 0$。
步骤 5：求解 B 的逆矩阵
从上式中，可以得到 $B(-B^{2} - 3B - 3E) = E$，所以 $B$ 可逆，即 $A - E$ 可逆。
步骤 6：验证 A+E 可逆
同理，令 $C = A + E$，则 $A = C - E$，代入 ${A}^{3}=0$，得到 $(C - E)^{3} = 0$，展开后得到 $C(-C^{2} - 3C - 3E) = E$，所以 $C$ 可逆，即 $A + E$ 可逆。
令 $B = A - E$，则 $A = B + E$。
步骤 2：代入 ${A}^{3}=0$
将 $A = B + E$ 代入 ${A}^{3}=0$，得到 $(B + E)^{3} = 0$。
步骤 3：展开 $(B + E)^{3}$
根据二项式定理，$(B + E)^{3} = B^{3} + 3B^{2}E + 3BE^{2} + E^{3}$。
步骤 4：简化表达式
由于 $E^{3} = E$，则 $(B + E)^{3} = B^{3} + 3B^{2} + 3B + E = 0$。
步骤 5：求解 B 的逆矩阵
从上式中，可以得到 $B(-B^{2} - 3B - 3E) = E$，所以 $B$ 可逆，即 $A - E$ 可逆。
步骤 6：验证 A+E 可逆
同理，令 $C = A + E$，则 $A = C - E$，代入 ${A}^{3}=0$，得到 $(C - E)^{3} = 0$，展开后得到 $C(-C^{2} - 3C - 3E) = E$，所以 $C$ 可逆，即 $A + E$ 可逆。