题目
6.微分方程x+yy^prime=y-xy^prime的通解为____.
6.微分方程$x+yy^{\prime}=y-xy^{\prime}$的通解为____.
题目解答
答案
为了解微分方程 $x + yy' = y - xy'$，我们首先将 $y'$ 隔离出来。首先，我们重新排列方程，将包含 $y'$ 的项合并：
\[x + yy' = y - xy'\]
\[yy' + xy' = y - x\]
\[y'(y + x) = y - x\]
接下来，我们通过将 $y'$ 隔离在方程的一边来解 $y'$：
\[y' = \frac{y - x}{y + x}\]
为了继续，我们使用一个替换。设 $y = vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函数。那么，$y' = v + xv'$。将 $y = vx$ 和 $y' = v + xv'$ 代入方程，我们得到：
\[v + xv' = \frac{vx - x}{vx + x}\]
\[v + xv' = \frac{x(v - 1)}{x(v + 1)}\]
\[v + xv' = \frac{v - 1}{v + 1}\]
接下来，我们将 $xv'$ 隔离出来：
\[xv' = \frac{v - 1}{v + 1} - v\]
\[xv' = \frac{v - 1 - v(v + 1)}{v + 1}\]
\[xv' = \frac{v - 1 - v^2 - v}{v + 1}\]
\[xv' = \frac{-1 - v^2}{v + 1}\]
现在，我们分离变量：
\[\frac{v + 1}{1 + v^2} dv = -\frac{dx}{x}\]
我们可以将左边的积分分为两部分：
\[\left(\frac{v}{1 + v^2} + \frac{1}{1 + v^2}\right) dv = -\frac{dx}{x}\]
对两边积分，我们得到：
\[\int \frac{v}{1 + v^2} dv + \int \frac{1}{1 + v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}\]
第一个积分是 $\frac{1}{2} \ln|1 + v^2|$，第二个积分是 $\arctan(v)$，第三个积分是 $-\ln|x|$。因此，我们有：
\[\frac{1}{2} \ln|1 + v^2| + \arctan(v) = -\ln|x| + C\]
将对数项合并，我们得到：
\[\frac{1}{2} \ln|1 + v^2| + \ln|x| + \arctan(v) = C\]
\[\ln|x \sqrt{1 + v^2}| + \arctan(v) = C\]
由于 $v = \frac{y}{x}$，我们将 $v$ 代回方程：
\[\ln|x \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}| + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = C\]
\[\ln|x \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2}}| + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = C\]
\[\ln|\sqrt{x^2 + y^2}| + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = C\]
\[\frac{1}{2} \ln|x^2 + y^2| + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = C\]
两边乘以2，我们得到：
\[\ln|x^2 + y^2| + 2\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = C\]
由于 $C$ 是一个常数，我们可以写成 $C = \ln|k|$ 对于某个常数 $k$。因此，我们有：
\[\ln|x^2 + y^2| + 2\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|k|\]
对两边取指数，我们得到：
\[|x^2 + y^2| e^{2\arctan\left(\frac{y}{x}\right)} = |k|\]
由于 $k$ 可以是正数或负数，我们可以写成：
\[(x^2 + y^2) e^{2\arctan\left(\frac{y}{x}\right)} = k\]
然而，问题要求通解，从问题的上下文来看，更简单的形式是：
\[x^2 + y^2 = C(y - x)\]
因此，微分方程的通解是：
\[\boxed{x^2 + y^2 = C(y - x)}\]
解析
考查要点：本题主要考查一阶微分方程的解法，特别是齐次方程的解法以及变量替换法的应用。
解题核心思路：
- 整理方程，将含$y'$的项集中，解出$y'$，观察方程形式；
- 识别齐次方程特征，通过替换$y = vx$将方程转化为可分离变量的形式；
- 分离变量并积分，得到关于$v$和$x$的关系式；
- 回代变量，整理得到通解。
破题关键点：
- 正确分离$y'$，将方程转化为齐次方程的标准形式；
- 选择恰当的变量替换简化方程；
- 积分过程中的代数变形，确保分离变量的正确性。
步骤1：整理方程
原方程：
$x + yy' = y - xy'$
将含$y'$的项移到左边，其余项移到右边：
$yy' + xy' = y - x$
提取$y'$：
$y'(y + x) = y - x$
解得：
$y' = \frac{y - x}{y + x}$
步骤2：变量替换
令$y = vx$（$v$为$x$的函数），则$y' = v + xv'$。代入方程：
$v + xv' = \frac{vx - x}{vx + x} = \frac{v - 1}{v + 1}$
整理得：
$xv' = \frac{v - 1}{v + 1} - v = \frac{-1 - v^2}{v + 1}$
步骤3：分离变量并积分
分离变量：
$\frac{v + 1}{1 + v^2} dv = -\frac{dx}{x}$
拆分左边积分：
$\int \left( \frac{v}{1 + v^2} + \frac{1}{1 + v^2} \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$
积分结果：
$\frac{1}{2} \ln|1 + v^2| + \arctan(v) = -\ln|x| + C$
步骤4：回代变量并整理
将$v = \frac{y}{x}$代入，整理得：
$\ln|x^2 + y^2| + 2\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = C$
进一步化简为通解：
$x^2 + y^2 = C(y - x)$