题目
设sim N(2,6) sim N(1,4)，且sim N(2,6) sim N(1,4)与sim N(2,6) sim N(1,4)相互独立，则sim N(2,6) sim N(1,4)A.sim N(2,6) sim N(1,4)B.sim N(2,6) sim N(1,4)C.sim N(2,6) sim N(1,4)D.sim N(2,6) sim N(1,4)
设
，且
与
相互独立，则
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
一维正态分布的独立可加性：
设
，且
与
相互独立，则有以下成立：
此性质可以推广至多个随机变量相互独立.
由一维正态分布的独立可加性可得，
∵与相互独立
化简得：.
故选C.
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
给定$X\sim N(2,6)$和$Y\sim N(1,4)$，其中$X$和$Y$相互独立。这意味着$X$和$Y$分别服从均值为2和1，方差为6和4的正态分布。
步骤 2：应用一维正态分布的独立可加性
根据一维正态分布的独立可加性，如果$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$和$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$是两个相互独立的正态分布随机变量，那么$a_1X_1+bX_2\sim N(a_1\mu_1+b\mu_2,a_1^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$。
步骤 3：计算$X-2Y$的分布
将$X$和$Y$的分布代入上述公式，得到$X-2Y\sim N(1\times 2+(-2)\times 1,1^2\times 6+(-2)^2\times 4)$。化简得$X-2Y\sim N(0,22)$。
给定$X\sim N(2,6)$和$Y\sim N(1,4)$，其中$X$和$Y$相互独立。这意味着$X$和$Y$分别服从均值为2和1，方差为6和4的正态分布。
步骤 2：应用一维正态分布的独立可加性
根据一维正态分布的独立可加性，如果$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$和$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$是两个相互独立的正态分布随机变量，那么$a_1X_1+bX_2\sim N(a_1\mu_1+b\mu_2,a_1^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$。
步骤 3：计算$X-2Y$的分布
将$X$和$Y$的分布代入上述公式，得到$X-2Y\sim N(1\times 2+(-2)\times 1,1^2\times 6+(-2)^2\times 4)$。化简得$X-2Y\sim N(0,22)$。