从总体 X sim B(1, p) 中随机抽取一组简单随机样本 X_1, X_2, ..., X_n, p 未知. N 表示样本中 1 的个数, F_n(x) 表示经验分布函数, 则下列不是统计量的是( )A. NB. F_n(0.5)C. X_((n)) - X_((1))D. sum_(i=1)^n (X_i - E(X_i))^2

统计量的定义是：仅由样本数据决定的函数，不含总体未知参数。本题中总体服从伯努利分布$X \sim B(1, p)$，参数$p$未知。需判断选项中哪些表达式依赖于$p$，从而排除统计量。

关键点：

• 统计量必须不含未知参数；
• 伯努利样本的特性：取值为0或1，样本函数如计数、经验分布、极差等均与$p$无关；
• 若表达式中出现$E(X_i) = p$，则需代入后判断是否含$p$。

选项分析

A. $N$

• 定义：样本中1的个数，即$\sum_{i=1}^n X_i$。
• 是否含$p$：仅依赖样本数据，与$p$无关。
• 结论：是统计量。

B. $F_n(0.5)$

• 定义：经验分布函数在$x=0.5$处的值，即样本中取值$\leq 0.5$的比例。
• 计算：伯努利变量取0或1，故$F_n(0.5) = \frac{\text{样本中0的个数}}{n} = 1 - \frac{N}{n}$。
• 是否含$p$：仅依赖样本数据，与$p$无关。
• 结论：是统计量。

C. $X_{(n)} - X_{(1)}$

• 定义：样本极差（最大值减最小值）。
• 伯努利样本特性：最大值$X_{(n)}$为1（若样本含1）或0；最小值$X_{(1)}$为0（若样本含0）或1。
• 计算：极差为$1 - 0 = 1$（若样本含0和1）或$0$（若全为0或全为1）。
• 是否含$p$：仅依赖样本数据，与$p$无关。
• 结论：是统计量。

D. $\sum_{i=1}^{n} (X_i - E(X_i))^2$

• 展开：$E(X_i) = p$（伯努利分布的期望），故表达式为$\sum_{i=1}^n (X_i - p)^2$。
• 是否含$p$：明确包含未知参数$p$。
• 结论：不是统计量。