设总体X的概率密度为f(x,theta )=dfrac{theta ^2)(x^3)e^-(theta )/(x) , x gt 00 , 其他为来自总体X的简单随机样本.(1)求theta 的矩估计量；(2)求theta 的最大似然估计量.
设总体$X$的概率密度为$f\left(x,\theta \right)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{\theta ^{2}}{x^{3}}e^{-\frac{\theta }{x}} , x \gt 0\\0 , 其他\end{array}\right.$，其中$\theta $为未知参数且大于零，$X_{1}$，$X_{2}$，$\ldots $，$X_{n}$为来自总体$X$的简单随机样本.
(1)求$\theta $的矩估计量；
(2)求$\theta $的最大似然估计量.
题目解答
答案
(1) 先求出总体的数学期望 $E(X)$
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{\theta^{2}}{x^{2}} e^{-\frac{\theta}{3}} \mathrm{\color{red}{~}d} x=\theta$
令$E\left(X\right)=\overline{\dot{X}}=\frac{1}{n}n\sum n=1{X}_{i}$
得 $\theta$ 的矩估计畫: $\theta=\overline{\dot{X}}=\frac{1}{n} n \sum i=1 X_{i}$
(2) 当 $x_{i}>0(i=1,2, \ldots n)$ 时，似然函数为 :
$L\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N} ; \theta\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) \cdots f\left(x_{N}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\prod_{i=1}^{N} \frac{\theta^{2}}{x_{i}^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{x_{i}}}, & x_{i}>0 \\ 0, & \end{array} .\right.$
取对数得 $\ln L=2 N \ln \theta-3 \sum_{i=1}^{N} \ln x_{i}-\theta \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_{i}}$,
对 $\theta$ 求导得 $\quad \frac{\mathrm{dln} L}{\mathrm{\color{red}{~}d} \theta}=\frac{2 N}{\theta}-\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_{i}}$,
令 $\frac{\mathrm{d} \ln L}{\mathrm{\color{red}{~}d} \theta}=0$, 得 $\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}=\frac{2 N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{X_{i}}}$.
解析
根据给定的概率密度函数$f(x,\theta)$，计算总体$X$的数学期望$E(X)$。
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{\theta^{2}}{x^{3}} e^{-\frac{\theta}{x}} \mathrm{d} x$
步骤 2：计算积分
利用分部积分法计算上述积分，得到$E(X)=\theta$。
步骤 3：求$\theta$的矩估计量
令$E(X)=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，得到$\theta$的矩估计量$\hat{\theta}=\overline{X}$。
步骤 4：求似然函数
当$x_{i}>0(i=1,2,\ldots,n)$时，似然函数$L(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i})$。
步骤 5：计算对数似然函数
取对数得$\ln L=2n\ln\theta-3\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}-\theta\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}$。
步骤 6：求导并求解
对$\theta$求导得$\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\theta}=\frac{2n}{\theta}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}$，令$\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\theta}=0$，解得$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}=\frac{2n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{X_{i}}}$。