题目
【题目】设总体x服从正态分布N(m,1), (X_1,X_2) 是总体x的样本，试验证 fh_1=2/3X_1+1/3X_2 ， m_2=1/4X_1+3/4X_2m_3=1/2X_1+1/2X_2 都是m的无偏估计量;并问哪一个估计量的方差最小?
【题目】设总体x服从正态分布N(m,1), (X_1,X_2) 是总体x的样本，试验证 fh_1=2/3X_1+1/3X_2 ， m_2=1/4X_1+3/4X_2m_3=1/2X_1+1/2X_2 都是m的无偏估计量;并问哪一个估计量的方差最小?
题目解答
答案
【解析】解因为X服从N(m,1),有E(X_i)=m D(X_i)=1 (i=1,2),得EE(m_1)=E(2/3X_1+1/3X_2)=2/3E(X_1)+1/3E(X_2)=2/3m+ rac D(|(a_1))=D(2/3X_1+1/3X_2)=4/9D(X_1)+1/9D(X_2)=4/(9同理可得: E((m_2))=m D(m_2)=5/8E((m_3))=m D(m_3)=1/2所以,m1,m2, m_3 都是m的无偏估计量,并且在m1,m2,m3中以3的方差为最小
解析
步骤 1：计算 m_1 的期望和方差
由于 X_1 和 X_2 都是来自正态分布 N(m,1) 的样本，因此 E(X_1) = E(X_2) = m，D(X_1) = D(X_2) = 1。根据线性组合的期望和方差公式，我们有：
E(m_1) = E(2/3X_1 + 1/3X_2) = 2/3E(X_1) + 1/3E(X_2) = 2/3m + 1/3m = m
D(m_1) = D(2/3X_1 + 1/3X_2) = (2/3)^2D(X_1) + (1/3)^2D(X_2) = 4/9 + 1/9 = 5/9
步骤 2：计算 m_2 的期望和方差
同样地，我们有：
E(m_2) = E(1/4X_1 + 3/4X_2) = 1/4E(X_1) + 3/4E(X_2) = 1/4m + 3/4m = m
D(m_2) = D(1/4X_1 + 3/4X_2) = (1/4)^2D(X_1) + (3/4)^2D(X_2) = 1/16 + 9/16 = 10/16 = 5/8
步骤 3：计算 m_3 的期望和方差
同样地，我们有：
E(m_3) = E(1/2X_1 + 1/2X_2) = 1/2E(X_1) + 1/2E(X_2) = 1/2m + 1/2m = m
D(m_3) = D(1/2X_1 + 1/2X_2) = (1/2)^2D(X_1) + (1/2)^2D(X_2) = 1/4 + 1/4 = 1/2
由于 X_1 和 X_2 都是来自正态分布 N(m,1) 的样本，因此 E(X_1) = E(X_2) = m，D(X_1) = D(X_2) = 1。根据线性组合的期望和方差公式，我们有：
E(m_1) = E(2/3X_1 + 1/3X_2) = 2/3E(X_1) + 1/3E(X_2) = 2/3m + 1/3m = m
D(m_1) = D(2/3X_1 + 1/3X_2) = (2/3)^2D(X_1) + (1/3)^2D(X_2) = 4/9 + 1/9 = 5/9
步骤 2：计算 m_2 的期望和方差
同样地，我们有：
E(m_2) = E(1/4X_1 + 3/4X_2) = 1/4E(X_1) + 3/4E(X_2) = 1/4m + 3/4m = m
D(m_2) = D(1/4X_1 + 3/4X_2) = (1/4)^2D(X_1) + (3/4)^2D(X_2) = 1/16 + 9/16 = 10/16 = 5/8
步骤 3：计算 m_3 的期望和方差
同样地，我们有：
E(m_3) = E(1/2X_1 + 1/2X_2) = 1/2E(X_1) + 1/2E(X_2) = 1/2m + 1/2m = m
D(m_3) = D(1/2X_1 + 1/2X_2) = (1/2)^2D(X_1) + (1/2)^2D(X_2) = 1/4 + 1/4 = 1/2