题目
有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量(克)如下：506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，总体标准差sigma的置信水平为95%的置信区间为(4.58,9.6).A 对B 错
有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量(克)如下：
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，总体标准差$\sigma$的置信水平为95%的置信区间为(4.58,9.6).
A 对
B 错
题目解答
答案
计算样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$：
\[
\bar{x} = \frac{1}{16} \sum x_i = 503.75, \quad s^2 = \frac{1}{15} \sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 38.4667
\]
利用 $\chi^2$ 分布求置信区间：
\[
\chi^2_{0.025, 15} \approx 27.488, \quad \chi^2_{0.975, 15} \approx 6.262
\]
置信区间为：
\[
\left( \sqrt{\frac{15s^2}{27.488}}, \sqrt{\frac{15s^2}{6.262}} \right) \approx (4.58, 9.6)
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：计算样本均值 $\bar{x}$
样本均值 $\bar{x}$ 是所有样本值的平均值，计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
\[ \bar{x} = \frac{1}{16} (506 + 508 + 499 + 503 + 504 + 510 + 497 + 512 + 514 + 505 + 493 + 496 + 506 + 502 + 509 + 496) = 503.75 \]
步骤 2：计算样本方差 $s^2$
样本方差 $s^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，计算公式为：
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
将给定的样本值和样本均值代入公式计算：
\[ s^2 = \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16} (x_i - 503.75)^2 \approx 38.4667 \]
步骤 3：利用 $\chi^2$ 分布求置信区间
总体标准差 $\sigma$ 的置信区间可以通过 $\chi^2$ 分布来求解。置信区间公式为：
\[ \left( \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}}, \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}} \right) \]
其中，$\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ 是 $\chi^2$ 分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。对于 95% 的置信水平，$\alpha = 0.05$，$n = 16$，查表得到：
\[ \chi^2_{0.025, 15} \approx 27.488, \quad \chi^2_{0.975, 15} \approx 6.262 \]
代入公式计算：
\[ \left( \sqrt{\frac{15 \times 38.4667}{27.488}}, \sqrt{\frac{15 \times 38.4667}{6.262}} \right) \approx (4.58, 9.6) \]
样本均值 $\bar{x}$ 是所有样本值的平均值，计算公式为：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
\[ \bar{x} = \frac{1}{16} (506 + 508 + 499 + 503 + 504 + 510 + 497 + 512 + 514 + 505 + 493 + 496 + 506 + 502 + 509 + 496) = 503.75 \]
步骤 2：计算样本方差 $s^2$
样本方差 $s^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，计算公式为：
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
将给定的样本值和样本均值代入公式计算：
\[ s^2 = \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16} (x_i - 503.75)^2 \approx 38.4667 \]
步骤 3：利用 $\chi^2$ 分布求置信区间
总体标准差 $\sigma$ 的置信区间可以通过 $\chi^2$ 分布来求解。置信区间公式为：
\[ \left( \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}}, \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}} \right) \]
其中，$\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ 是 $\chi^2$ 分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。对于 95% 的置信水平，$\alpha = 0.05$，$n = 16$，查表得到：
\[ \chi^2_{0.025, 15} \approx 27.488, \quad \chi^2_{0.975, 15} \approx 6.262 \]
代入公式计算：
\[ \left( \sqrt{\frac{15 \times 38.4667}{27.488}}, \sqrt{\frac{15 \times 38.4667}{6.262}} \right) \approx (4.58, 9.6) \]