4.当x→0时，ln(1+x²)是1-cosx的（）A. 低阶无穷小B. 高阶无穷小C. 同阶但不等价无穷小D. 等价无穷小

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较，涉及泰勒展开式或等价无穷小的替换方法。

解题核心思路：

1. 确定两个函数在$x \to 0$时的主部项，即展开到最低次幂项；
2. 比较主部项的阶数：若阶数相同且系数不同，则为同阶但不等价无穷小；若阶数相同且系数相同，则为等价无穷小；若阶数不同，则根据幂次判断高低阶。

破题关键点：

• 正确应用等价无穷小替换：$\ln(1+u) \sim u$（当$u \to 0$），$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$（当$x \to 0$）；
• 通过比值极限判断阶数关系：若极限为非零常数，则同阶；若极限为0，则前者是后者的高阶无穷小；若极限为无穷大，则前者是后者的低阶无穷小。

步骤1：展开两个函数的主部项

1. $\ln(1+x^2)$的展开：
   当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，根据等价无穷小替换$\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$），可得：
   $\ln(1+x^2) \sim x^2.$

2. $1 - \cos x$的展开：
   根据泰勒公式，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此：
   $1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \sim \frac{x^2}{2}.$

步骤2：比较主部项的阶数

• $\ln(1+x^2)$的主部为$x^2$，阶数为2；
• $1 - \cos x$的主部为$\frac{x^2}{2}$，阶数为2。
  结论：两者的阶数相同。

步骤3：判断是否等价无穷小

计算两者的比值极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} 2 = 2.$
结论：极限为非零常数，说明两者同阶但不等价。