题目
设某大城市市民的年收入服从均值mu =1.5万元、标准差sigma =0.5万元的正态分布.先随机调查了100个人，求他们的平均年收入小于1.4万元的概率是 .
设某大城市市民的年收入服从均值$\mu =1.5$万元、标准差$\sigma =0.5$万元的正态分布.先随机调查了$100$个人，求他们的平均年收入小于$1.4$万元的概率是 .
题目解答
答案
$0.4207$
解析
步骤 1：确定正态分布参数
题目中给出市民年收入服从均值$\mu =1.5$万元、标准差$\sigma =0.5$万元的正态分布。这意味着市民的年收入$X$服从$N(1.5, 0.5^2)$的正态分布。
步骤 2：计算样本均值的分布
随机调查了$100$个人，样本量$n=100$。根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$的分布近似服从正态分布$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，样本均值$\bar{X}$的分布为$N(1.5, \frac{0.5^2}{100})$，即$N(1.5, 0.0025)$。
步骤 3：计算概率
我们需要计算样本均值$\bar{X}$小于$1.4$万元的概率，即$P(\bar{X} < 1.4)$。首先，将$1.4$标准化为标准正态分布的$z$分数，$z = \frac{1.4 - 1.5}{\sqrt{0.0025}} = \frac{-0.1}{0.05} = -2$。然后，查找标准正态分布表或使用计算器，得到$P(Z < -2) = 0.0228$。但是，题目要求的是小于$1.4$万元的概率，因此需要计算$P(Z < -2)$，即$0.0228$。然而，根据题目给出的答案，我们需要重新检查计算过程，因为答案给出的是$0.4207$，这表明我们可能需要计算$P(Z < -2)$的补集，即$1 - P(Z < -2) = 1 - 0.0228 = 0.9772$，但这与题目给出的答案不符。因此，我们需要重新考虑题目要求的概率，即$P(Z < -2)$，这与题目给出的答案$0.4207$不符，可能需要重新检查题目要求的概率计算方法或题目给出的答案是否正确。
题目中给出市民年收入服从均值$\mu =1.5$万元、标准差$\sigma =0.5$万元的正态分布。这意味着市民的年收入$X$服从$N(1.5, 0.5^2)$的正态分布。
步骤 2：计算样本均值的分布
随机调查了$100$个人，样本量$n=100$。根据中心极限定理，样本均值$\bar{X}$的分布近似服从正态分布$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，样本均值$\bar{X}$的分布为$N(1.5, \frac{0.5^2}{100})$，即$N(1.5, 0.0025)$。
步骤 3：计算概率
我们需要计算样本均值$\bar{X}$小于$1.4$万元的概率，即$P(\bar{X} < 1.4)$。首先，将$1.4$标准化为标准正态分布的$z$分数，$z = \frac{1.4 - 1.5}{\sqrt{0.0025}} = \frac{-0.1}{0.05} = -2$。然后，查找标准正态分布表或使用计算器，得到$P(Z < -2) = 0.0228$。但是，题目要求的是小于$1.4$万元的概率，因此需要计算$P(Z < -2)$，即$0.0228$。然而，根据题目给出的答案，我们需要重新检查计算过程，因为答案给出的是$0.4207$，这表明我们可能需要计算$P(Z < -2)$的补集，即$1 - P(Z < -2) = 1 - 0.0228 = 0.9772$，但这与题目给出的答案不符。因此，我们需要重新考虑题目要求的概率，即$P(Z < -2)$，这与题目给出的答案$0.4207$不符，可能需要重新检查题目要求的概率计算方法或题目给出的答案是否正确。