题目
已知随机变量X~N(170,36),求:(1)P(X>182) ; (2)求P(X<164) ; (3)求P(164<X<182)。(只需用表示,无需查表)
已知随机变量X~N(170,36),求:(1)P{X>182} ; (2)求P{X<164} ; (3)求P{164<X<182}。(只需用
表示,无需查表)
题目解答
答案
解：将随机变量X正态分布标准化，可得：
∵正态分布的分布函数为
∴
(1)
182\right\}=P\left\{\frac{X-170}{6}>\frac{182-170}{6}\right\}" data-width="386" data-height="53" data-size="6194" data-format="png" style="max-width:100%">
2\right\}=1-P\left\{\frac{X-170}{6}\le2\right\}=1-\Phi\left(2\right)" data-width="516" data-height="53" data-size="7631" data-format="png" style="max-width:100%">;
(2)
∵
∴
(3)∵
解析
步骤 1：标准化随机变量
将随机变量X标准化，即转换为标准正态分布。已知X~N(170,36)，其中均值μ=170，方差σ^2=36，标准差σ=6。标准化后的随机变量为Z=(X-μ)/σ，即Z=(X-170)/6，且Z~N(0,1)。
步骤 2：计算P{X>182}
将X=182代入标准化公式，得到Z=(182-170)/6=2。因此，P{X>182}=P{Z>2}=1-P{Z≤2}=1-Φ(2)。
步骤 3：计算P{X<164}
将X=164代入标准化公式，得到Z=(164-170)/6=-1。因此，P{X<164}=P{Z<-1}=Φ(-1)。由于标准正态分布的对称性，Φ(-1)=1-Φ(1)。
步骤 4：计算P{164P{164
将随机变量X标准化，即转换为标准正态分布。已知X~N(170,36)，其中均值μ=170，方差σ^2=36，标准差σ=6。标准化后的随机变量为Z=(X-μ)/σ，即Z=(X-170)/6，且Z~N(0,1)。
步骤 2：计算P{X>182}
将X=182代入标准化公式，得到Z=(182-170)/6=2。因此，P{X>182}=P{Z>2}=1-P{Z≤2}=1-Φ(2)。
步骤 3：计算P{X<164}
将X=164代入标准化公式，得到Z=(164-170)/6=-1。因此，P{X<164}=P{Z<-1}=Φ(-1)。由于标准正态分布的对称性，Φ(-1)=1-Φ(1)。
步骤 4：计算P{164