设C是正向圆周|z|=(1)/(4)，则oint_(C) tan pi z , dz的值为().A. -1B. 2C. 1D. 0

考查要点：本题主要考查复变函数的积分计算，涉及奇点分析和柯西积分定理或留数定理的应用。

解题核心思路：

1. 确定被积函数的奇点位置：$\tan \pi z$ 的奇点由 $\cos \pi z = 0$ 决定，解得 $z = \frac{1}{2} + k$（$k$ 为整数）。
2. 判断奇点是否在积分路径内：积分路径为 $|z| = \frac{1}{4}$，需验证所有奇点是否满足 $|z| < \frac{1}{4}$。
3. 应用积分定理：若围道内无奇点，则根据柯西积分定理或留数定理，积分值为 $0$。

破题关键：

• 奇点位置的计算和模长比较是核心步骤，需明确所有奇点均位于积分路径外。

步骤1：确定被积函数的奇点

$\tan \pi z = \frac{\sin \pi z}{\cos \pi z}$ 的奇点由分母 $\cos \pi z = 0$ 决定，解得：
$\pi z = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad z = \frac{1}{2} + k \quad (k \in \mathbb{Z}).$
这些奇点均为简单极点。

步骤2：判断奇点是否在积分路径内

积分路径为 $|z| = \frac{1}{4}$，需检查奇点 $z = \frac{1}{2} + k$ 是否满足 $|z| < \frac{1}{4}$：

• 当 $k = 0$ 时，$z = \frac{1}{2}$，模长为 $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$，在路径外。
• 其他整数 $k$ 对应的 $z$ 的模长均 $\geq \frac{1}{2}$，均不在路径内。

结论：积分路径内无奇点。

步骤3：应用积分定理

由于 $\tan \pi z$ 在积分路径 $C$ 及其内部解析，根据柯西积分定理，积分值为 $0$。
或根据留数定理，围道内无奇点，留数和为 $0$，积分值亦为 $0$。