题目

设随机变量X~N(1.5,4)，则P(X≤3.5)=____，P(1.5<3.5)=____.4.(填空题，30分) P(|X|≥3)=____.

设随机变量X~N(1.5,4)，则P(X≤3.5)=____，P(1.5<3.5)=____. 4.(填空题，30分) P(|X|≥3)=____.

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质和标准正态分布表。随机变量 $X$ 服从均值 $\mu = 1.5$ 和方差 $\sigma^2 = 4$ 的正态分布，因此标准差 $\sigma = 2$。我们使用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$，其中 $Z$ 服从均值为0和标准差为1的正态分布。 ### 第一步：计算 $P(X \leq 3.5)$ 首先，我们将 $X = 3.5$ 转换为标准正态变量 $Z$： \[ Z = \frac{3.5 - 1.5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] 现在，我们需要找到 $P(Z \leq 1)$。使用标准正态分布表，我们发现 $P(Z \leq 1) \approx 0.8413$。因此， \[ P(X \leq 3.5) = 0.8413 \] ### 第二步：计算 $P(1.5 < X < 3.5)$ 由于均值 $\mu = 1.5$，$P(X < 1.5) = 0.5$。我们已经找到 $P(X \leq 3.5) = 0.8413$。因此， \[ P(1.5 < X < 3.5) = P(X \leq 3.5) - P(X \leq 1.5) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413 \] ### 第三步：计算 $P(|X| \geq 3)$ 首先，我们需要找到 $P(|X| < 3)$，然后从1中减去这个值。不等式 $|X| < 3$ 可以写为 $-3 < X < 3$。我们将 $X = -3$ 和 $X = 3$ 转换为标准正态变量 $Z$： \[ Z_1 = \frac{-3 - 1.5}{2} = \frac{-4.5}{2} = -2.25 \] \[ Z_2 = \frac{3 - 1.5}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \] 现在，我们需要找到 $P(-2.25 < Z < 0.75)$。使用标准正态分布表，我们发现 $P(Z \leq 0.75) \approx 0.7734$ 和 $P(Z \leq -2.25) \approx 0.0122$。因此， \[ P(-2.25 < Z < 0.75) = P(Z \leq 0.75) - P(Z \leq -2.25) = 0.7734 - 0.0122 = 0.7612 \] 因此， \[ P(|X| \geq 3) = 1 - P(|X| < 3) = 1 - 0.7612 = 0.2388 \] 最终答案是： \[ P(X \leq 3.5) = 0.8413, \quad P(1.5 < X < 3.5) = 0.3413, \quad P(|X| \geq 3) = 0.2388 \] 将答案框起来： \[ \boxed{0.8413, 0.3413, 0.2388} \]

解析

本题主要考查正态分布的性质以及如何利用标准正态分布表来计算概率。解题的关键思路是先根据已知的正态分布参数确定均值$\mu$和标准差$\sigma$，然后通过公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$将一般正态变量$X$转化为标准正态变量$Z$，最后利用标准正态分布表来计算相应的概率。

第一步：计算$P(X \leq 3.5)$

已知随机变量$X\sim N(1.5,4)$，则均值$\mu = 1.5$，方差$\sigma^2 = 4$，所以标准差$\sigma = \sqrt{4}=2$。
根据公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将$X = 3.5$代入可得：
$Z = \frac{3.5 - 1.5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
此时$P(X \leq 3.5)$就转化为$P(Z \leq 1)$。
通过查阅标准正态分布表，可得$P(Z \leq 1) \approx 0.8413$，所以$P(X \leq 3.5) = 0.8413$。

第二步：计算$P(1.5 < X < 3.5)$

因为正态分布关于均值$\mu$对称，已知$\mu = 1.5$，所以$P(X < 1.5) = 0.5$。
又因为$P(X \leq 3.5) = 0.8413$，根据概率的性质$P(1.5 < X < 3.5) = P(X \leq 3.5) - P(X \leq 1.5)$，则：
$P(1.5 < X < 3.5) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$

第三步：计算$P(|X| \geq 3)$

根据概率的性质$P(|X| \geq 3)=1 - P(|X| < 3)$，而不等式$|X| < 3$等价于$-3 < X < 3$。
同样根据公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将$X = -3$和$X = 3$分别代入：
当$X = -3$时，$Z_1 = \frac{-3 - 1.5}{2} = \frac{-4.5}{2} = -2.25$；
当$X = 3$时，$Z_2 = \frac{3 - 1.5}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75$。
此时$P(-3 < X < 3)$就转化为$P(-2.25 < Z < 0.75)$。
根据概率的性质$P(-2.25 < Z < 0.75) = P(Z \leq 0.75) - P(Z \leq -2.25)$。
查阅标准正态分布表，可得$P(Z \leq 0.75) \approx 0.7734$，$P(Z \leq -2.25) \approx 0.0122$，则：
$P(-2.25 < Z < 0.75) = 0.7734 - 0.0122 = 0.7612$
所以$P(|X| \geq 3)=1 - P(|X| < 3)=1 - 0.7612 = 0.2388$。