题目
设总体的分布密度为。（1）试求样本的联合分布密度；( 2 ) 求的矩估计量。
设总体
的分布密度为
。
（1）试求样本
的联合分布密度；
( 2 ) 求
的矩估计量。
题目解答
答案
依题知，
总体的分布密度为。
（1）由于
为来自总体的样本，因此相互独立且与总体分布相同。
于是
，即所求联合分布密度。
（2）依题意，得
，
令
，即
，解得的矩估计量为
。
解析
步骤 1：求样本的联合分布密度
由于X1,X2,···,Xn为来自总体的样本，因此X1,X2,···,Xn相互独立且与总体分布相同。于是，样本的联合分布密度为各个样本点分布密度的乘积。
步骤 2：计算联合分布密度
$f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})=\prod _{i=1}^{n}f(x_i,\theta )=\prod _{i=1}^{n}\theta x_i=\theta ^n \prod _{i=1}^{n}x_i$，即所求联合分布密度。
步骤 3：求总体的期望
总体的期望EX可以通过积分求得，即$EX=\int _{0}^{1}x\cdot \theta xdx=\theta \int _{0}^{1}x^2dx=\theta \left(\dfrac {1}{3}x^3\right)_{0}^{1}=\dfrac {\theta }{3}$。
步骤 4：求矩估计量
令样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_i$等于总体期望EX，即$\overline {X}=\dfrac {\theta }{3}$，解得$\theta =3\overline {X}$，即为的矩估计量。
由于X1,X2,···,Xn为来自总体的样本，因此X1,X2,···,Xn相互独立且与总体分布相同。于是，样本的联合分布密度为各个样本点分布密度的乘积。
步骤 2：计算联合分布密度
$f({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})=\prod _{i=1}^{n}f(x_i,\theta )=\prod _{i=1}^{n}\theta x_i=\theta ^n \prod _{i=1}^{n}x_i$，即所求联合分布密度。
步骤 3：求总体的期望
总体的期望EX可以通过积分求得，即$EX=\int _{0}^{1}x\cdot \theta xdx=\theta \int _{0}^{1}x^2dx=\theta \left(\dfrac {1}{3}x^3\right)_{0}^{1}=\dfrac {\theta }{3}$。
步骤 4：求矩估计量
令样本均值$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_i$等于总体期望EX，即$\overline {X}=\dfrac {\theta }{3}$，解得$\theta =3\overline {X}$，即为的矩估计量。