[题目]设总体x的概率密度函数为 ((x)_(n))=dfrac (1)(2lambda )(e)^-dfrac (lambda {x)}-|||-(-infty )lt xlt +infty , 其中 lambda gt 0,(x)_(1), x2,···,xn是总体x-|||-的一个容量为n的样本-|||-(1)求参数x的矩估计量;-|||-(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量;-|||-(Ⅲ)说明由最大似然估计法所得λ的估计量是否为-|||-无偏估计量.

步骤 1：求参数 $\lambda$ 的矩估计量
首先，计算总体 $X$ 的一阶矩（期望）和二阶矩（方差）。
\[
\mu_1 = E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{\lambda}{x}} dx = 0
\]
\[
\mu_2 = E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{\lambda}{x}} dx = 2\lambda^2
\]
因此，总体 $X$ 的二阶矩为 $2\lambda^2$。样本的二阶矩为：
\[
\hat{\mu}_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2
\]
根据矩估计法，令样本的二阶矩等于总体的二阶矩，得到：
\[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 = 2\lambda^2
\]
解得：
\[
\hat{\lambda} = \sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2}
\]

步骤 2：求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量
构造似然函数：
\[
L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i, \lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{\lambda}{X_i}}
\]
取对数似然函数：
\[
\ln L(\lambda) = -n \ln (2\lambda) - \lambda \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i}
\]
对 $\lambda$ 求导并令导数为零：
\[
\frac{d \ln L(\lambda)}{d\lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} = 0
\]
解得：
\[
\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i}
\]

步骤 3：判断最大似然估计量是否为无偏估计量
计算 $E(|X|)$：
\[
E(|X|) = \int_{-\infty}^{+\infty} |x| \cdot \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{\lambda}{x}} dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2\lambda} e^{-\frac{\lambda}{x}} dx = \lambda
\]
因此，$E(\hat{\lambda}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i}\right) = \lambda$，说明最大似然估计量 $\hat{\lambda}$ 是无偏估计量。