题目
若两个总体均服从正态分布,分别从两个总体中随机抽取样本,则两个样本均值之差服从的分布为( )A.标准正态分布 B.分 布 C. 分 布D.正态分布
若两个总体均服从正态分布,分别从两个总体中随机抽取样本,则两个样本均值之差服从的分布为( )
A.标准正态分布
B.
分 布
C.
分 布
D.正态分布
题目解答
答案
由定理:设 
是来自正态总体 
的样 本, 
是样本均值, 则有
可得:若两个总体
分别服从正态分体 
,分别从两个总体中随机抽取样本和
,则两个样本均值都服从正态分布，即
‘
又由定理：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
可知随机变量
也服从正态分布
当
时，称随机变量
服从标准正态分布
本题不知
的值，不能判断是否为标准正态分布
故本题答案选 D
解析
步骤 1：理解样本均值的分布
根据中心极限定理，如果从一个正态分布的总体中抽取样本，样本均值也将服从正态分布。具体来说，如果总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，那么样本均值 $\overline{X}$ 也将服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，其中 $n$ 是样本大小。
步骤 2：考虑两个独立样本均值的分布
如果从两个独立的正态分布总体中分别抽取样本，那么这两个样本均值的差也将服从正态分布。具体来说，如果总体1服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，总体2服从正态分布 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，那么样本均值 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 的差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 将服从正态分布 $N(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2})$，其中 $n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的大小。
步骤 3：确定分布类型
根据上述分析，两个样本均值之差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 服从正态分布，但不一定是标准正态分布，因为标准正态分布的均值为0，标准差为1。由于我们不知道 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的具体值，因此不能确定 $\overline{X} - \overline{Y}$ 是否为标准正态分布。
根据中心极限定理，如果从一个正态分布的总体中抽取样本，样本均值也将服从正态分布。具体来说，如果总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，那么样本均值 $\overline{X}$ 也将服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，其中 $n$ 是样本大小。
步骤 2：考虑两个独立样本均值的分布
如果从两个独立的正态分布总体中分别抽取样本，那么这两个样本均值的差也将服从正态分布。具体来说，如果总体1服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$，总体2服从正态分布 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，那么样本均值 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 的差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 将服从正态分布 $N(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2})$，其中 $n_1$ 和 $n_2$ 分别是两个样本的大小。
步骤 3：确定分布类型
根据上述分析，两个样本均值之差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 服从正态分布，但不一定是标准正态分布，因为标准正态分布的均值为0，标准差为1。由于我们不知道 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的具体值，因此不能确定 $\overline{X} - \overline{Y}$ 是否为标准正态分布。