16.设炮弹射击时弹着点坐标为(X,Y),且X与Y-|||-相互独立,均服从正态分布N(0,1),试求弹着点与-|||-目标(原点)间的平均距离.

考查要点：本题主要考查二维正态分布的几何性质以及极坐标变换下的积分计算，需要结合概率论中的期望计算与数学分析中的积分技巧。

解题核心思路：
弹着点到原点的距离为$\sqrt{X^2 + Y^2}$，其期望即为所求的平均距离。由于$X$和$Y$独立且服从标准正态分布，可将问题转化为计算$\mathbb{E}[\sqrt{X^2 + Y^2}]$。通过极坐标变换简化积分，并利用伽马函数求解积分。

破题关键点：

1. 极坐标变换：将二重积分转换为极坐标形式，简化计算。
2. 伽马函数：利用$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$的结果计算积分。

弹着点到原点的距离为$R = \sqrt{X^2 + Y^2}$，其概率密度函数可通过极坐标变换得到。由于$X$和$Y$独立且服从$N(0,1)$，联合概率密度为：
$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}.$

将积分转换为极坐标形式：
$\mathbb{E}[R] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \, dx \, dy.$

令$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，雅可比行列式为$r$，则：
$\mathbb{E}[R] = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} r \cdot \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}} \cdot r \, dr \, d\theta.$

化简积分：
$\mathbb{E}[R] = \int_{0}^{\infty} r^2 \cdot \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}} \cdot 2\pi \, dr = \int_{0}^{\infty} r^2 e^{-\frac{r^2}{2}} \, dr.$

令$t = \frac{r^2}{2}$，则$r = \sqrt{2t}$，$dr = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}} dt$，代入得：
$\int_{0}^{\infty} (2t) e^{-t} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}} \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}} e^{-t} \, dt.$

利用伽马函数$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，得：
$\sqrt{2} \cdot \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$