题目

(7)设A为2n+1阶正交矩阵，且|A|=1，证明：A-E不可逆.

(7)设A为2n+1阶正交矩阵，且|A|=1，证明：A-E不可逆.

题目解答

答案

由题意，$A$为$2n+1$阶正交矩阵且$|A|=1$。根据正交矩阵性质，$AA^T = E$。 考虑行列式$|A - E|$： \[ |A - E| = |A - AA^T| = |A(E - A^T)| = |A| \cdot |E - A^T| \] 由于$|E - A^T| = |(E - A)^T| = |E - A|$，且$|A| = 1$，代入得： \[ |A - E| = |E - A| = |-(A - E)| = (-1)^{2n+1} |A - E| = -|A - E| \] 因此，$2|A - E| = 0$，即$|A - E| = 0$。 这表明矩阵$A - E$不可逆。 **结论：** $A - E$不可逆。

解析

本题考查正交矩阵的性质以及矩阵可逆性与行列式的关系。解题的关键思路是利用正交矩阵的定义 $AA^T = E$ 对 $|A - E|$ 进行变形，再结合行列式的性质和已知条件 $|A| = 1$ 以及矩阵阶数为 $2n + 1$ 来推导 $|A - E|$ 的值，进而判断矩阵 $A - E$ 是否可逆。

  1. 首先，根据正交矩阵的定义，因为 $A$ 是正交矩阵，所以有 $AA^T = E$。
    • 那么 $|A - E|$ 可以写成 $|A - AA^T|$。
    • 根据矩阵乘法分配律，$A - AA^T=A(E - A^T)$，所以 $|A - E| = |A(E - A^T)|$。
  2. 然后，根据行列式的性质：若 $A$、$B$ 为同阶方阵，则 $|AB| = |A|\cdot|B|$。
    • 对于 $|A(E - A^T)|$，可得 $|A(E - A^T)| = |A|\cdot|E - A^T|$。
    • 已知 $|A| = 1$，所以 $|A - E| = |E - A^T|$。
  3. 接着，利用行列式的性质：$|B^T| = |B|$。
    • 因为 $|E - A^T| = |(E - A)^T|$，所以 $|E - A^T| = |E - A|$。
    • 又因为 $|E - A| = |-(A - E)|$。
  4. 再根据行列式的性质：若 $k$ 为常数，$B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|kB| = k^n|B|$。
    • 对于 $|-(A - E)|$，这里 $k=-1$，矩阵 $A - E$ 是 $2n + 1$ 阶方阵，所以 $|-(A - E)| = (-1)^{2n + 1}|A - E|$。
    • 由于 $2n+1$ 是奇数，$(-1)^{2n + 1}=-1$，则 $|-(A - E)| = -|A - E|$。
  5. 最后，综合前面的推导：
    • 由 $|A - E| = |E - A^T| = |E - A| = |-(A - E)| = -|A - E|$，可得 $|A - E|=-|A - E|$。
    • 移项得到 $|A - E|+|A - E| = 0$，即 $2|A - E| = 0$，所以 $|A - E| = 0$。
    • 根据矩阵可逆的充要条件：$n$ 阶方阵 $B$ 可逆的充要条件是 $|B|\neq0$，因为 $|A - E| = 0$，所以矩阵 $A - E$ 不可逆。