某高校女生的收缩压X(单位:毫米汞柱)服从N(110,12^2).求该校某名女生: (1)收缩压不超过105概率. (2)收缩压在100至120之间的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及将实际数据标准化为标准正态变量，并利用标准正态分布表求解概率。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将题目中的收缩压值转换为标准正态变量$Z$，公式为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
2. 查标准正态分布表：根据标准化后的$Z$值，查找对应的累积概率值$\Phi(Z)$。
3. 区间概率计算：对于区间概率，需计算上下限对应的$\Phi(Z)$值之差。

破题关键点：

• 正确应用标准化公式，注意符号和计算精度。
• 灵活运用标准正态分布的对称性简化计算（如第二问中利用$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$）。

第（1）题

标准化转换

收缩压不超过$105$，即求$P(X \leq 105)$。标准化得：
$Z = \frac{105 - 110}{12} = -0.42$

查标准正态分布表

$\Phi(-0.42)$对应负数$Z$值，可通过$\Phi(0.42) = 0.6628$计算：
$\Phi(-0.42) = 1 - \Phi(0.42) = 1 - 0.6628 = 0.3372$

结论：收缩压不超过$105$的概率为$0.3372$。

第（2）题

标准化转换

• 下限$100$对应：
  $Z_1 = \frac{100 - 110}{12} = -0.83$
• 上限$120$对应：
  $Z_2 = \frac{120 - 110}{12} = 0.83$

计算区间概率

利用对称性简化：
$\begin{aligned}P(100 \leq X \leq 120) &= \Phi(0.83) - \Phi(-0.83) \\&= \Phi(0.83) - (1 - \Phi(0.83)) \\&= 2\Phi(0.83) - 1\end{aligned}$

查标准正态分布表

$\Phi(0.83) = 0.7967$，代入得：
$2 \times 0.7967 - 1 = 0.5934$

结论：收缩压在$100$至$120$之间的概率为$0.5934$。