用铁锤把质量很小的钉子敲入木板,设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时,能把钉子敲入1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同,那么第二次敲入多深: ( )A. 0.41cm;B. 0.50cm;C. 0.73cm;D. 1.00cm。

考查要点：本题主要考查变力做功与能量守恒的应用，涉及积分计算和二次方程求解。

解题核心思路：

1. 阻力与深度成正比，即$f = kx$，需通过积分计算变力做功。
2. 两次敲击动能相同，第一次敲入深度$h_1$，第二次敲入深度$h_2$，总深度为$h_1 + h_2$。
3. 利用能量守恒，建立两次做功的等式，解方程求$h_2$。

破题关键点：

• 正确写出两次做功的表达式，注意第二次积分下限为$h_1$。
• 化简方程时，通过代数变形得到关于$h_2$的二次方程，最终用求根公式求解。

第一次敲击

钉子从$x=0$移动到$x=h_1=1.00\ \text{cm}$，阻力做功为：
$W_1 = \int_{0}^{h_1} kx \, dx = \frac{1}{2}k h_1^2$
此功等于铁锤提供的动能$E$，即：
$E = \frac{1}{2}k h_1^2$

第二次敲击

钉子从$x=h_1$移动到$x=h_1 + h_2$，阻力做功为：
$W_2 = \int_{h_1}^{h_1 + h_2} kx \, dx = \frac{1}{2}k \left[(h_1 + h_2)^2 - h_1^2\right]$
由于两次动能相同，$W_2 = E$，代入得：
$\frac{1}{2}k \left[(h_1 + h_2)^2 - h_1^2\right] = \frac{1}{2}k h_1^2$
约去$\frac{1}{2}k$后展开方程：
$(h_1 + h_2)^2 - h_1^2 = h_1^2$
化简得：
$2h_1 h_2 + h_2^2 = h_1^2$
整理为二次方程：
$h_2^2 + 2h_1 h_2 - h_1^2 = 0$

解方程

用求根公式解得：
$h_2 = \frac{-2h_1 \pm \sqrt{(2h_1)^2 + 4h_1^2}}{2} = h_1 \left(-1 + \sqrt{2}\right)$
代入$h_1 = 1.00\ \text{cm}$，得：
$h_2 \approx 1.00 \times (1.414 - 1) = 0.41\ \text{cm}$