13. (4.0分) 如果n阶方阵A与所有n阶方阵B都可交换，即AB=BA，那么A必定是（）A. 可逆矩阵B. 零矩阵C. 数量矩阵D. 对称矩阵

本题考查矩阵可交换的性质以及不同不同类型矩阵的定义，解题思路是通过选取特殊的矩阵$B$，根据$AB = BA$这一条件推导出矩阵$A$的元素特征，进而判断矩阵$A$的类型。

设$A=(a_{ij})_{n\times n}$，$B=(b_{ij})_{n\times n}$。

1. 选取特殊矩阵$B$：
   • 取$B = E_{ij}$，其中$E_{ij$是$(i,j)$位置元素为$1$，其余元素为$0$的$n$阶矩阵。
   • 计算$AE_{ij}$：
     根据矩阵乘法规则，$AE_{ij}$的第$(k,l)$位置元素为$\sum_{s = 1}^{n}a_{ks}(E_{ij})_{sl}$。由于$E_{ij}$只有$(i,j)$位置元素为$1$，其余为$0$，若$l\neq j$，则$(AE_{ij})_{kl}=0$；若$l = j$，则$(AE_{ij})_{kj}=a_{ki}$。所以$AE_{ij}$是第$j$列元素为$A$的第$i$行元素，其余列元素全为$0$的矩阵。
   • 计算$E_{ij}A$：
     同理，$E_{ij}A$的$(k,l)$位置元素为$\sum_{s = 1}^{n}(E_{ij})_{ks}a_{sl}$。由于\\mathrm{K}_{ij})只有$(i,j)$位置元素为$1$，其余为$0$，若$k\neq i$，则$(E_{ij}A)_{kl}=0$；若$k = i\mathrm{i}$，则$(E_{ij}A)_{il}=a_{jl}$。所以$E_{ij}A\mathrm{A}$是第$i$行元素为$A$的第$j$列元素，其余行元素全为$0$的矩阵。
   • 因为$AE_{ij}=E_{ij}A$，所以当$A$的第$i$行元素与第$j$列元素对应相等，即$a_{ki}=a_{ji}$，$i,j = 1,2,\cdots,n$，这表明$A$是对称矩阵。
2. 进一步推导$A$为数量矩阵：
   • 取$B = D$，其中$D$是对角线上元素为$1,2,\cdots,n$，其余元素为$0$的$n$阶对角矩阵。
   • 计算$AD$：
     根据矩阵乘法规则，$AD$的$(i,j)$位置元素为$\sum_{s = 1}^{n}a_{is}d_{sl}$。由于$D$是对角矩阵，$d_{sl}=\begin{cases}s, & s = l\\0, & s\neq l\end{cases}$，所以$(AD)_{il}=a_{il}l$。
   • 计算$DA$：
     同理，$DA$的$(i,l)$位置元素为$\sum_{s = 1}^{n}d_{is}a_{sl$，所以$(DA)_{il}=i a_{il}$。
   • 因为$AD = DA$，所以$a_{il}l=ia_{il}$，即$(l - i)a_{il}=0$，$i\neq l$。这意味着当$i\neq l$时，$a_{il}=0$，所以\(A)是对角矩阵。 - 再取$B$为任意对角矩阵$D=\mathrm{diag}(k_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，由$AD = DA$可得$a_{ii}\lambda_j=\lambda_i a_{ii}$，$i,j = 1,2,\cdots,n$。因为$\lambda_i$和$\lambda_j$是任意的，所以$a_{ii}=a_{jj}$，$i,j = 1,2,\cdots,n$，即$A$的对角线上元素都相等，所以$A$是数量矩阵。