题目
假设0.50,1.25.0.80,2.00是来自总体X的一个简单随机样本值。已知Y=InX~N(μ,1)(1)求X的数学期望E()(记E为b)(2)求μ的置信度为0.95的置信区间;(tl2=13)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间
假设0.50,1.25.0.80,2.00是来自总体X的一个简单随机样本值。已知Y=InX~N(μ,1)
(1)求X的数学期望E()(记E为b)
(2)求μ的置信度为0.95的置信区间;(tl2=1
3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X的数学期望E(X)
由于 $X=e^{Y}$，且 $Y \sim N(\mu, 1)$，则 $E(X) = E(e^{Y})$。根据指数分布的性质，$E(e^{Y}) = e^{\mu + \frac{1}{2}}$。因此，$E(X) = e^{\mu + \frac{1}{2}}$，记为 $b$。
步骤 2：求μ的置信度为0.95的置信区间
已知 $Y \sim N(\mu, 1)$，且样本值为0.50, 1.25, 0.80, 2.00。首先计算样本均值 $\overline{Y} = \frac{1}{4}(\ln 0.50 + \ln 1.25 + \ln 0.80 + \ln 2.00) = 0$。由于 $\sigma^2$ 已知，$\sigma = 1$，$n = 4$，$a = 0.05$，$u_{0.025} = 1.96$，则 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(\overline{Y} - u_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{Y} + u_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，即 $(-0.98, 0.98)$。
步骤 3：求b的置信度为0.95的置信区间
由于 $b = e^{\mu + \frac{1}{2}}$，且 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(-0.98, 0.98)$，则 $b$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(e^{-0.98 + \frac{1}{2}}, e^{0.98 + \frac{1}{2}})$，即 $(e^{-0.48}, e^{1.48})$。
由于 $X=e^{Y}$，且 $Y \sim N(\mu, 1)$，则 $E(X) = E(e^{Y})$。根据指数分布的性质，$E(e^{Y}) = e^{\mu + \frac{1}{2}}$。因此，$E(X) = e^{\mu + \frac{1}{2}}$，记为 $b$。
步骤 2：求μ的置信度为0.95的置信区间
已知 $Y \sim N(\mu, 1)$，且样本值为0.50, 1.25, 0.80, 2.00。首先计算样本均值 $\overline{Y} = \frac{1}{4}(\ln 0.50 + \ln 1.25 + \ln 0.80 + \ln 2.00) = 0$。由于 $\sigma^2$ 已知，$\sigma = 1$，$n = 4$，$a = 0.05$，$u_{0.025} = 1.96$，则 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(\overline{Y} - u_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{Y} + u_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，即 $(-0.98, 0.98)$。
步骤 3：求b的置信度为0.95的置信区间
由于 $b = e^{\mu + \frac{1}{2}}$，且 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(-0.98, 0.98)$，则 $b$ 的置信度为0.95的置信区间为 $(e^{-0.98 + \frac{1}{2}}, e^{0.98 + \frac{1}{2}})$，即 $(e^{-0.48}, e^{1.48})$。