题目
1.7 极限lim_(xto0^+)(1-e^frac(1)/(x))(x+e^(1)/(x))=____.
1.7 极限$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{x+e^{\frac{1}{x}}}$=____.
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}}$，我们首先进行变量代换。令 $t = \frac{1}{x}$。当 $x \to 0^+$ 时，$t \to +\infty$。因此，原极限可以转化为：
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1 - e^t}{\frac{1}{t} + e^t}
\]
接下来，我们对分子和分母同时乘以 $t$，以简化表达式：
\[
\lim_{t \to +\infty} \frac{1 - e^t}{\frac{1}{t} + e^t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t(1 - e^t)}{t \left(\frac{1}{t} + e^t\right)} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t - te^t}{1 + te^t}
\]
现在，我们观察分子和分母的 behavior 当 $t \to +\infty$ 时。分子 $t - te^t$ 中的 $te^t$ 项占主导，分母 $1 + te^t$ 中的 $te^t$ 项也占主导。因此，我们可以将分子和分母同时除以 $te^t$：
\[
\lim_{t \to +\infty} \frac{t - te^t}{1 + te^t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{t}{te^t} - \frac{te^t}{te^t}}{\frac{1}{te^t} + \frac{te^t}{te^t}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{1}{e^t} - 1}{\frac{1}{te^t} + 1}
\]
当 $t \to +\infty$ 时，$\frac{1}{e^t} \to 0$ 和 $\frac{1}{te^t} \to 0$。因此，极限简化为：
\[
\lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{1}{e^t} - 1}{\frac{1}{te^t} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1
\]
Thus, the answer is:
\[
\boxed{-1}
\]
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路是通过变量代换将原式转化为关于新变量的极限，然后对分子分母进行适当变形，利用常见极限的性质来求解。
- 变量代换：
令$t = \frac{1}{x}$，当$x\to0^{+}$时，$t\to +\infty$。
原极限$\lim_{x\to0^{+}}\frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}}$就转化为$\lim_{t\to +\infty}\frac{1 - e^{t}}{\frac{1}{t} + e^{t}}$。 - 分子分母同乘$t$化简：
根据分式的性质，对$\lim_{t\to +\infty}\frac{1 - e^{t}}{\frac{1}{t} + e^{t}}$的分子分母同时乘以$t$，得到$\lim_{t\to +\infty}\frac{t(1 - e^{t})}{t(\frac{1}{t} + e^{t})}$。
展开分子分母可得$\lim_{t\to +\infty}\frac{t - te^{t}}{1 + te^{t}}$。 - 分子分母同除$te^{t}$进一步化简：
当$t\to +\infty$时，$te^{t}$在分子分母中起主导作用，所以将分子分母同时除以$te^{t}$，即$\lim_{t\to +\infty}\frac{\frac{t}{te^{t}} - \frac{te^{t}}{te^{t}}}{\frac{1}{te^{t}} + \frac{te^{t}}{te^{t}}}$。
化简可得$\lim_{t\to +\infty}\frac{\frac{1}{e^{t}} - 1}{\frac{1}{te^{t}} + 1}$。 - 利用常见极限性质求解：
根据常见极限$\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{e^{t}} = 0$和$\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{te^{t}} = 0$，将其代入$\lim_{t\to +\infty}\frac{\frac{1}{e^{t}} - 1}{\frac{1}{te^{t}} + 1}$中，得到$\frac{0 - 1}{0 + 1}=-1$。