方程y'' - 2y' + 3y = e^x sin sqrt(2)x的特解的形式为A. e^x [A cos sqrt(2)x + B sin sqrt(2)x]B. xe^x [A cos sqrt(2)x + B sin sqrt(2)x]C. Ae^x sin sqrt(2)xD. Ae^x cos sqrt(2)x

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定方法，特别是当非齐次项与齐次解重复时的处理方式。

解题核心思路：

1. 求齐次方程的特征根，确定齐次解的形式；
2. 分析非齐次项的形式，判断其是否与齐次解重复；
3. 根据重复情况调整特解形式，若重复则需乘以$x$的幂次。

破题关键点：

• 特征方程的解：通过解特征方程确定齐次解的结构；
• 非齐次项与齐次解的关系：若非齐次项中的指数因子与齐次解中的指数因子相同，则需乘以$x$构造特解。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为 $y'' - 2y' + 3y = 0$，对应的特征方程为：
$r^2 - 2r + 3 = 0$
解得特征根：
$r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$
因此，齐次解的形式为：
$y_h = e^x \left( C_1 \cos \sqrt{2}x + C_2 \sin \sqrt{2}x \right)$

步骤2：分析非齐次项的形式

非齐次项为 $e^x \sin \sqrt{2}x$，其形式为 $e^{\alpha x} \sin \beta x$，其中 $\alpha = 1$，$\beta = \sqrt{2}$。
关键判断：$\alpha + i\beta = 1 + i\sqrt{2}$ 是齐次方程的特征根，因此非齐次项与齐次解重复。

步骤3：构造特解形式

由于非齐次项与齐次解重复，特解需乘以 $x$，即：
$y_p = x e^x \left( A \cos \sqrt{2}x + B \sin \sqrt{2}x \right)$
对应选项 B。