求微分方程y"(x+y)=y满足初始条件y(1)=y(1)=1的特解.

步骤 1：引入变量
令 $y'=p$，则 $y''=p'$，原方程化为 $p'(x+y)=p$，即 $p'(x+p^2)=p$。
步骤 2：分离变量
将方程 $p'(x+p^2)=p$ 分离变量，得到 $\dfrac{dx}{dp} - \dfrac{x}{p} = p$。
步骤 3：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，其通解为 $x = e^{\int \frac{1}{p} dp} (\int p e^{-\int \frac{1}{p} dp} dp + C_1)$。
步骤 4：计算积分
计算积分 $\int \frac{1}{p} dp = \ln|p|$，则 $e^{\int \frac{1}{p} dp} = e^{\ln|p|} = p$。
步骤 5：代入积分
代入积分 $\int p e^{-\int \frac{1}{p} dp} dp = \int p e^{-\ln|p|} dp = \int p \frac{1}{p} dp = \int dp = p + C_2$。
步骤 6：求解 $x$
将步骤 5 的结果代入步骤 3 的通解，得到 $x = p(p + C_1)$。
步骤 7：应用初始条件
由 $p|_{x=1} = y'(1) = 1$，得 $C_1 = 0$，故 $p^2 = x$。
步骤 8：求解 $y$
由 $y'(1) = 1$ 知，应取 $p = \sqrt{x}$，即 $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x}$，解得 $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_2$。
步骤 9：应用初始条件
由 $y(1) = 1$ 得 $C_2 = \frac{1}{3}$，故 $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3}$。