题目
4.计算机在进行加法时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都是服从(-0.5,0.5)上的均匀分布，若将1200个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(注：Phi(1.0)=0.8413,Phi(1.5)=0.9332)
4.计算机在进行加法时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都是服从(-0.5,0.5)上的均匀分布，若将1200个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(注：$\Phi(1.0)=0.8413$,$\Phi(1.5)=0.9332$)
题目解答
答案
设每个取整误差 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布，期望 $E(X_i) = 0$，方差 $D(X_i) = \frac{1}{12}$。总误差 $S = \sum_{i=1}^{1200} X_i$，则 $E(S) = 0$，$D(S) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100$。
由中心极限定理，$S$ 近似服从 $N(0, 100)$。
求 $P(|S| > 15)$：
\[
P(|S| > 15) = 1 - P(-15 \leq S \leq 15) = 1 - P(-1.5 \leq Z \leq 1.5) = 1 - [2\Phi(1.5) - 1] = 2 - 2\Phi(1.5)
\]
已知 $\Phi(1.5) = 0.9332$，代入得：
\[
P(|S| > 15) = 2 - 2 \times 0.9332 = 0.1336
\]
**答案：** $\boxed{0.1336}$
解析
步骤 1：确定单个取整误差的分布
每个取整误差 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布，其期望 $E(X_i) = 0$，方差 $D(X_i) = \frac{1}{12}$。
步骤 2：计算总误差的期望和方差
总误差 $S = \sum_{i=1}^{1200} X_i$，则 $E(S) = 0$，$D(S) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100$。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，$S$ 近似服从 $N(0, 100)$，即 $S \sim N(0, 10)$。
步骤 4：计算误差总和的绝对值超过15的概率
求 $P(|S| > 15)$： \[ P(|S| > 15) = 1 - P(-15 \leq S \leq 15) = 1 - P(-1.5 \leq Z \leq 1.5) = 1 - [2\Phi(1.5) - 1] = 2 - 2\Phi(1.5) \] 已知 $\Phi(1.5) = 0.9332$，代入得： \[ P(|S| > 15) = 2 - 2 \times 0.9332 = 0.1336 \]
每个取整误差 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布，其期望 $E(X_i) = 0$，方差 $D(X_i) = \frac{1}{12}$。
步骤 2：计算总误差的期望和方差
总误差 $S = \sum_{i=1}^{1200} X_i$，则 $E(S) = 0$，$D(S) = 1200 \times \frac{1}{12} = 100$。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，$S$ 近似服从 $N(0, 100)$，即 $S \sim N(0, 10)$。
步骤 4：计算误差总和的绝对值超过15的概率
求 $P(|S| > 15)$： \[ P(|S| > 15) = 1 - P(-15 \leq S \leq 15) = 1 - P(-1.5 \leq Z \leq 1.5) = 1 - [2\Phi(1.5) - 1] = 2 - 2\Phi(1.5) \] 已知 $\Phi(1.5) = 0.9332$，代入得： \[ P(|S| > 15) = 2 - 2 \times 0.9332 = 0.1336 \]