题目
求极限lim√1+tanx-√1+sinx
求极限
题目解答
答案
原式
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到直接求解这个极限可能会遇到困难，因为当$x$趋近于$0$时，$\sqrt{1+\tan x}$和$\sqrt{1+\sin x}$都趋近于$1$，导致分子为$0$。因此，我们需要对表达式进行化简，以便能够应用洛必达法则或泰勒展开等方法来求解极限。
步骤 2：应用有理化方法
为了消除根号，我们可以使用有理化的方法，即乘以共轭表达式。具体来说，我们乘以$\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}$，这样可以将根号内的表达式转化为差的形式，从而简化计算。
$$\lim _{x\rightarrow 0} \left(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\right) = \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\right)\left(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\right)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1+\tan x - (1+\sin x)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x$趋近于$0$时都趋近于$0$，我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后再次求极限。
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\tan x - \sin x)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{\frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}}\sec^2 x + \frac{1}{2\sqrt{1+\sin x}}\cos x}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{1+\tan x}} + \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos^3 x}{\frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}} + \frac{\cos^3 x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos^3 x}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos^3 x}{1}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} (1 - \cos^3 x)$$
$$= 1 - 1$$
$$= 0$$
首先，我们注意到直接求解这个极限可能会遇到困难，因为当$x$趋近于$0$时，$\sqrt{1+\tan x}$和$\sqrt{1+\sin x}$都趋近于$1$，导致分子为$0$。因此，我们需要对表达式进行化简，以便能够应用洛必达法则或泰勒展开等方法来求解极限。
步骤 2：应用有理化方法
为了消除根号，我们可以使用有理化的方法，即乘以共轭表达式。具体来说，我们乘以$\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}$，这样可以将根号内的表达式转化为差的形式，从而简化计算。
$$\lim _{x\rightarrow 0} \left(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\right) = \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\right)\left(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\right)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1+\tan x - (1+\sin x)}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x$趋近于$0$时都趋近于$0$，我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后再次求极限。
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\tan x - \sin x)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x})}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{\frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}}\sec^2 x + \frac{1}{2\sqrt{1+\sin x}}\cos x}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{1+\tan x}} + \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos^3 x}{\frac{1}{2\sqrt{1+\tan x}} + \frac{\cos^3 x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos^3 x}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} \frac{1 - \cos^3 x}{1}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0} (1 - \cos^3 x)$$
$$= 1 - 1$$
$$= 0$$