题目
(10分)要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时,生产者从一批这种元件中随机抽取25件,测得其平均寿命值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为=100小时的正态分布,求:(1)的置信水平为0.95的置信区间;(2)在显著性水平 = 0.05 下确定这批元件是否合格?即检验假设 H: 1000; H1: <1000参考数据:t0.05(24)=1.7109, t0.05(25)=1.7081, t0.025(24)=2.0639t0.025(25)=2.0595, z0.025 =1.96, z0.05=1.645
(10分)要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时,生产者从一批这种元件中随机抽取25件,测得其平均寿命值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为=100小时的正态分布,求:
(1)的置信水平为0.95的置信区间;(2)在显著性水平 = 0.05 下确定这批元件是否合格?
即检验假设 H: 1000; H1: <1000
参考数据:t0.05(24)=1.7109, t0.05(25)=1.7081, t0.025(24)=2.0639
t0.025(25)=2.0595, z0.025 =1.96, z0.05=1.645
题目解答
答案
=(910.8 , 989.2)(2) 用Z检验法,因
,故拒绝H, 认为这批元件不合格。
解析
步骤 1：计算置信区间
根据题目，元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，样本容量为25，样本均值为950小时。置信水平为0.95，因此需要使用标准正态分布的临界值z0.025=1.96来计算置信区间。
步骤 2：计算置信区间的上下限
置信区间的计算公式为：$\overline {X}\pm z_{\alpha/2}\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$为样本均值，$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的临界值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。
步骤 3：进行假设检验
在显著性水平α=0.05下，检验假设H0: μ≥1000; H1: μ<1000。使用Z检验法，计算检验统计量$z=\dfrac {\overline {X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$为样本均值，$\mu_0$为假设的总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。如果计算出的z值小于临界值z0.05=-1.645，则拒绝原假设H0，认为这批元件不合格。
根据题目，元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，样本容量为25，样本均值为950小时。置信水平为0.95，因此需要使用标准正态分布的临界值z0.025=1.96来计算置信区间。
步骤 2：计算置信区间的上下限
置信区间的计算公式为：$\overline {X}\pm z_{\alpha/2}\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$为样本均值，$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的临界值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。
步骤 3：进行假设检验
在显著性水平α=0.05下，检验假设H0: μ≥1000; H1: μ<1000。使用Z检验法，计算检验统计量$z=\dfrac {\overline {X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt {n}}$，其中$\overline {X}$为样本均值，$\mu_0$为假设的总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。如果计算出的z值小于临界值z0.05=-1.645，则拒绝原假设H0，认为这批元件不合格。