题目
设 X sim N(1,4)，Phi(x) 是标准正态分布的分布函数，则 P(1.2 A. Phi(3.2)- Phi(1.2)B. Phi(1.6)- Phi(0.6)C. Phi(0.55)- Phi(0.05)D. Phi(1.1)- Phi(0.1)
设 $X \sim N(1,4)$，$\Phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数，则 $P(1.2 < X \leq 3.2)$ 等于(）
A. $\Phi(3.2)- \Phi(1.2)$
B. $\Phi(1.6)- \Phi(0.6)$
C. $\Phi(0.55)- \Phi(0.05)$
D. $\Phi(1.1)- \Phi(0.1)$
题目解答
答案
D. $\Phi(1.1)- \Phi(0.1)$
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
给定 $X \sim N(1,4)$，其中 $1$ 是均值 $\mu$，$4$ 是方差 $\sigma^2$，因此标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。
步骤 2：将 $X$ 的值转换为标准正态分布 $Z$ 的值
使用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将 $X = 1.2$ 和 $X = 3.2$ 转换为 $Z$ 值。
- 对于 $X = 1.2$，$Z_1 = \frac{1.2 - 1}{2} = 0.1$
- 对于 $X = 3.2$，$Z_2 = \frac{3.2 - 1}{2} = 1.1$
步骤 3：计算概率
$P(1.2 < X \leq 3.2)$ 等价于 $P(0.1 < Z \leq 1.1)$，根据标准正态分布的分布函数 $\Phi(z)$，我们有：
\[ P(0.1 < Z \leq 1.1) = \Phi(1.1) - \Phi(0.1) \]
给定 $X \sim N(1,4)$，其中 $1$ 是均值 $\mu$，$4$ 是方差 $\sigma^2$，因此标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。
步骤 2：将 $X$ 的值转换为标准正态分布 $Z$ 的值
使用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将 $X = 1.2$ 和 $X = 3.2$ 转换为 $Z$ 值。
- 对于 $X = 1.2$，$Z_1 = \frac{1.2 - 1}{2} = 0.1$
- 对于 $X = 3.2$，$Z_2 = \frac{3.2 - 1}{2} = 1.1$
步骤 3：计算概率
$P(1.2 < X \leq 3.2)$ 等价于 $P(0.1 < Z \leq 1.1)$，根据标准正态分布的分布函数 $\Phi(z)$，我们有：
\[ P(0.1 < Z \leq 1.1) = \Phi(1.1) - \Phi(0.1) \]