题目
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 [0，0.5） [0.5，1） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） 学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 （1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．
（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
| 时间范围 | [0，0.5） | [0.5，1） | [1，1.5） | [1.5，2） | [2，2.5） |
| 学业成绩 | |||||
| 优秀 | 5 | 44 | 42 | 3 | 1 |
| 不优秀 | 134 | 147 | 137 | 40 | 27 |
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．
（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
题目解答
答案
解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比$P=\frac{42+3+1+137+40+27}{580}=\frac{25}{58}$，
该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为$29000×\frac{25}{58}=12500$；
（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为
$\frac{1}{580}×$[$\frac{1}{2}×$0.5×（5+134）+$\frac{1+0.5}{2}$×（4+147）+$\frac{1+1.5}{2}$×（42+137）+$\frac{1.5+2}{2}×$（3+40）+$\frac{2+2.5}{2}×$（1+27）]=$\frac{27}{29}$≈0.9h；
（3）由题意可得2×2列联表，
①提出零假设 H0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，
②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，
③$χ^2=\frac{580×（45×308-177×50）^{2}}{（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）}≈3.976＞3.841$，
④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为$29000×\frac{25}{58}=12500$；
（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为
$\frac{1}{580}×$[$\frac{1}{2}×$0.5×（5+134）+$\frac{1+0.5}{2}$×（4+147）+$\frac{1+1.5}{2}$×（42+137）+$\frac{1.5+2}{2}×$（3+40）+$\frac{2+2.5}{2}×$（1+27）]=$\frac{27}{29}$≈0.9h；
（3）由题意可得2×2列联表，
| [1，2） | 其他 | 总数 | |
| 优秀 | 45 | 50 | 95 |
| 不优秀 | 177 | 308 | 485 |
②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，
③$χ^2=\frac{580×（45×308-177×50）^{2}}{（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）}≈3.976＞3.841$，
④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
解析
步骤 1：计算体育锻炼时长不少于1小时的人数占比
根据题目中给出的数据，计算580人中体育锻炼时长不少于1小时的人数占比。这包括时间范围[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5）的优秀和不优秀学生人数。
步骤 2：计算该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数
利用步骤1中计算出的人数占比，乘以该地区29000名学生总数，得到该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数。
步骤 3：估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长
根据题目中给出的数据，计算该地区初中学生日均体育锻炼的时长。这包括时间范围[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5）的优秀和不优秀学生人数，以及每个时间范围的中点值。
步骤 4：计算χ2值
根据题目中给出的数据，计算χ2值。这包括时间范围[1，2）的优秀和不优秀学生人数，以及时间范围其他（即[0，1）和[2，2.5））的优秀和不优秀学生人数。
步骤 5：判断是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
根据步骤4中计算出的χ2值，与显著性水平α=0.05对应的临界值3.841进行比较，判断是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关。
根据题目中给出的数据，计算580人中体育锻炼时长不少于1小时的人数占比。这包括时间范围[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5）的优秀和不优秀学生人数。
步骤 2：计算该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数
利用步骤1中计算出的人数占比，乘以该地区29000名学生总数，得到该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数。
步骤 3：估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长
根据题目中给出的数据，计算该地区初中学生日均体育锻炼的时长。这包括时间范围[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5）的优秀和不优秀学生人数，以及每个时间范围的中点值。
步骤 4：计算χ2值
根据题目中给出的数据，计算χ2值。这包括时间范围[1，2）的优秀和不优秀学生人数，以及时间范围其他（即[0，1）和[2，2.5））的优秀和不优秀学生人数。
步骤 5：判断是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
根据步骤4中计算出的χ2值，与显著性水平α=0.05对应的临界值3.841进行比较，判断是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关。