题目
4.(填空题,6分)第六章4(1),设样本x1,x2 x1,x4,x4,x,来自总体N(0,1), =(({x)_(2)+(x)_(2)+(x)_(2))}^2+(({x)_(4)+(x)_(3)+(x)_(0))}^2 则当 = __ 时,CY服从x^2分布,自-|||-由度为 __ _。-|||-第1空 段落ò式。 字体,字号,BIUA,三三Ωπr
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本的分布
样本 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ 来自总体 $N(0,1)$，即每个样本点都是独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为1。
步骤 2：计算线性组合的分布
考虑线性组合 $x_1 + x_2 + x_3$ 和 $x_4 + x_5 + x_6$。由于每个 $x_i$ 都是独立的 $N(0,1)$ 随机变量，它们的和也是正态分布的。具体地，$x_1 + x_2 + x_3 \sim N(0,3)$，因为方差是独立随机变量方差的和，即 $1+1+1=3$。同理，$x_4 + x_5 + x_6 \sim N(0,3)$。
步骤 3：标准化线性组合
为了使 $x_1 + x_2 + x_3$ 和 $x_4 + x_5 + x_6$ 的分布标准化，我们需要除以标准差 $\sqrt{3}$。因此，$\frac{1}{\sqrt{3}}(x_1 + x_2 + x_3) \sim N(0,1)$，$\frac{1}{\sqrt{3}}(x_4 + x_5 + x_6) \sim N(0,1)$。
步骤 4：构造卡方分布
根据卡方分布的定义，如果 $Z \sim N(0,1)$，则 $Z^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(x_1 + x_2 + x_3)\right)^2 \sim \chi^2(1)$，$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(x_4 + x_5 + x_6)\right)^2 \sim \chi^2(1)$。将这两个独立的卡方分布相加，得到 $\chi^2(2)$ 分布。
步骤 5：确定常数C
为了使 $CY$ 服从 $\chi^2(2)$ 分布，我们需要 $C$ 使得 $CY = \frac{1}{3} \left( (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_4 + x_5 + x_6)^2 \right)$。因此，$C = \frac{1}{3}$。
样本 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ 来自总体 $N(0,1)$，即每个样本点都是独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为1。
步骤 2：计算线性组合的分布
考虑线性组合 $x_1 + x_2 + x_3$ 和 $x_4 + x_5 + x_6$。由于每个 $x_i$ 都是独立的 $N(0,1)$ 随机变量，它们的和也是正态分布的。具体地，$x_1 + x_2 + x_3 \sim N(0,3)$，因为方差是独立随机变量方差的和，即 $1+1+1=3$。同理，$x_4 + x_5 + x_6 \sim N(0,3)$。
步骤 3：标准化线性组合
为了使 $x_1 + x_2 + x_3$ 和 $x_4 + x_5 + x_6$ 的分布标准化，我们需要除以标准差 $\sqrt{3}$。因此，$\frac{1}{\sqrt{3}}(x_1 + x_2 + x_3) \sim N(0,1)$，$\frac{1}{\sqrt{3}}(x_4 + x_5 + x_6) \sim N(0,1)$。
步骤 4：构造卡方分布
根据卡方分布的定义，如果 $Z \sim N(0,1)$，则 $Z^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(x_1 + x_2 + x_3)\right)^2 \sim \chi^2(1)$，$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(x_4 + x_5 + x_6)\right)^2 \sim \chi^2(1)$。将这两个独立的卡方分布相加，得到 $\chi^2(2)$ 分布。
步骤 5：确定常数C
为了使 $CY$ 服从 $\chi^2(2)$ 分布，我们需要 $C$ 使得 $CY = \frac{1}{3} \left( (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_4 + x_5 + x_6)^2 \right)$。因此，$C = \frac{1}{3}$。