题目
设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=}kx,0le x<12-x,1le xle 2,0,其他<|im_end|>设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=}2-x,&1le xle 2,0,&(其它)，求(1)常数k；(2)P(X<(3)/(2))；(3)X的分布函数.解：(1)根据int_(-infty)^+inftyf(x)dx=1 ①得到int_(0)^1kxdx+int_(1)^2(2-x)dx=1 ②(1)/(2)k+2-(3)/(2)=1，所以k=1. ③(2)P(X<(3)/(2))=int_(-infty)^(3)/(2)f(x)dx=int_(0)^(3)/(2)(2-x)dx=(15)/(8). ③(3)F(x)=P(Xle x)=int_(-infty)^xf(x)dx, ④当x<0，F(x)=0, ⑤当0≤x<1，F(x)=int_(0)^xadx=(1)/(2), ⑥当1≤x<2，F(x)=int_(0)^1adx+int_(1)^2(2-x)dx=1, ⑥当x≥2，F(x)=1. ⑦请对方框内容进行判断，若正确请填“对”，若错误请填“错”<|im_end|>解:(1)根据int_(-infty)^+inftyf(x)dx=1 ①得到int_(0)^1kxdx+int_(1)^2(2-x)dx=1 ②(1)/(2)k+2-(3)/(2)=1,所以k=1.
设连续型随机变量X的密度函数为$f(x)=\begin{cases}kx,0\le x<1\\2-x,1\le x\le 2,\\0,其他\end{cases}$
<|im_end|>
设连续型随机变量X的密度函数为$f(x)=\begin{Bmatrix}2-x,&1\le x\le 2,\\0,&\text{其它}\end{Bmatrix}$，求(1)常数k；(2)$P(X<\frac{3}{2})$；(3)X的分布函数.
解：(1)根据$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$ ①
得到$\int_{0}^{1}kxdx+\int_{1}^{2}(2-x)dx=1$ ②
$\frac{1}{2}k+2-\frac{3}{2}=1$，所以k=1. ③
(2)$P(X<\frac{3}{2})=\int_{-\infty}^{\frac{3}{2}}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{3}{2}}(2-x)dx=\frac{15}{8}$. ③
(3)$F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx$, ④
当x<0，F(x)=0, ⑤
当0≤x<1，$F(x)=\int_{0}^{x}adx=\frac{1}{2}$, ⑥
当1≤x<2，$F(x)=\int_{0}^{1}adx+\int_{1}^{2}(2-x)dx=1$, ⑥
当x≥2，F(x)=1. ⑦
请对方框内容进行判断，若正确请填“对”，若错误请填“错”
<|im_end|>
解:(1)根据$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$ ①
得到$\int_{0}^{1}kxdx+\int_{1}^{2}(2-x)dx=1$ ②
$\frac{1}{2}k+2-\frac{3}{2}=1$,所以k=1.
题目解答
答案
(1) 根据概率密度函数的性质，$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。
计算得：
\[
\int_{0}^{1} kx \, dx + \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \frac{k}{2} + \left(2 - \frac{3}{2}\right) = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]
解得 $k = 1$。
(2) 计算 $P(X < \frac{3}{2})$：
\[
P(X < \frac{3}{2}) = \int_{-\infty}^{\frac{3}{2}} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{\frac{3}{2}} (2 - x) \, dx
\]
\[
= \frac{1}{2} + \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} + \left(3 - \frac{9}{8} - 2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{7}{8} = \frac{11}{8}
\]
但注意到 $f(x) = 0$ 当 $x < 0$，应为：
\[
P(X < \frac{3}{2}) = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{\frac{3}{2}} (2 - x) \, dx = \frac{1}{2} + \frac{7}{8} = \frac{11}{8}
\]
故 $P(X < \frac{3}{2}) = \frac{7}{8}$（原式错误）。
(3) 分布函数 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$：
- 当 $x < 0$，$F(x) = 0$；
- 当 $0 \leq x < 1$，$F(x) = \int_{0}^{x} t \, dt = \frac{x^2}{2}$；
- 当 $1 \leq x < 2$，$F(x) = \int_{0}^{1} t \, dt + \int_{1}^{x} (2 - t) \, dt = \frac{1}{2} + (2x - \frac{x^2}{2} - (2 - \frac{1}{2})) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$；
- 当 $x \geq 2$，$F(x) = 1$。
综上，原题中①②③正确，④⑤正确，⑥⑦错误。
答案：
(1) $k = 1$；
(2) $P(X < \frac{3}{2}) = \frac{7}{8}$；
(3) $F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0, \\
\frac{x^2}{2}, & 0 \leq x < 1, \\
-\frac{x^2}{2} + 2x - 1, & 1 \leq x < 2, \\
1, & x \geq 2.
\end{cases}$
判断：①对，②对，③对，④对，⑤对，⑥错，⑦错。
解析
本题主要考查连续型随机变量概率密度函数的性质、概率的计算以及分布函数的求解。解题思路如下：
- 求常数 $k$：
- 根据连续型随机变量概率密度函数的性质，$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
- 已知$f(x)=\begin{cases}kx, & 0\leq x\lt1\\2 - x, & 1\leq x\leq2\\0, & 其他\end{cases}$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{1}kxdx+\int_{1}^{2}(2 - x)dx$。
- 分别计算两个积分：
- 计算$\int_{0}^{1}kxdx$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{0}^{1}kxdx=k\int_{0}^{1}xdx=k\times[\frac{1}{2}x^2]_0^1=\frac{1}{2}k$。
- 计算$\int_{1}^{2}(2 - x)dx$，$\int_{1}^{2}(2 - x)dx=\int_{1}^{2}2dx-\int_{1}^{2}xdx=2x|_1^2-\frac{1}{2}x^2|_1^2=(2\times2 - 2\times1)-(\frac{1}{2}\times2^2-\frac{1}{2}\times1^2)=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。
- 由$\int_{0}^{1}kxdx+\int_{1}^{2}(2 - x)dx = 1$，即$\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}=1$，移项可得$\frac{1}{2}k=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解得$k = 1$。所以①②③正确。
- 求 $P(X\lt\frac{3}{2})$：
- 根据概率的计算公式$P(X\lt\frac{3}{2})=\int_{-\infty}^{\frac{3}{2}}f(x)dx$。
- 因为$f(x)$在$x\lt0$时为$0$，所以$P(X\lt\frac{3}{2})=\int_{0}^{1}xdx+\int_{1}^{\frac{3}{2}}(2 - x)dx$。
- 分别计算两个积分：
- 计算$\int_{0}^{1}xdx$，$\int_{0}^{1}xdx=[\frac{1}{2}x^2]_0^1=\frac{1}{2}$。
- 计算$\int_{1}^{\frac{3}{2}}(2 - x)dx$，$\int_{1}^{\frac{3}{2}}(2 - x)dx=\int_{1}^{\frac{3}{2}}2dx-\int_{1}^{\frac{3}{2}}xdx=2x|_1^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^2|_1^{\frac{3}{2}}=(2\times\frac{3}{2}-2\times1)-(\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^2-\frac{1}{2}\times1^2)=1-(\frac{9}{8}-\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$。
- 则$P(X\lt\frac{3}{2})=\frac{1}{2}+\frac{7}{8}=\frac{4 + 7}{8}=\frac{11}{8}$，而原答案中计算$P(X\lt\frac{3}{2})$时积分区间错误，所以原答案中关于$P(X\lt\frac{3}{2})$的计算错误。
- 求 $X$ 的分布函数 $F(x)$：
- 根据分布函数的定义$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$。
- 分情况讨论：
- 当$x\lt0$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt = 0$，所以⑤正确。
- 当$0\leq x\lt1$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}tdt=[\frac{1}{2}t^2]_0^x=\frac{1}{2}x^2$，原答案中积分计算错误，所以⑥错误。
- 当$1\leq x\lt2$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{x}(2 - t)dt$。
- 前面已求得$\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}$。
- 计算$\int_{1}^{x}(2 - t)dt=\int_{1}^{x}2dt-\int_{1}^{x}tdt=2t|_1^x-\frac{1}{2}t^2|_1^x=(2x - 2)-(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$。
- 所以$F(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1=-\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{2}$，原答案中积分计算错误，所以⑥错误。
- 当$x\geq2$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{2}(2 - t)dt$，前面已求得$\int_{0}^{1}tdt=\frac{1}{2}$，$\int_{1}^{2}(2 - t)dt=\frac{1}{2}$，则$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，所以⑦正确。