题目
测定某种溶液中的水分,它的10个测定值给出 =0.037% , 设测定值-|||-总体为正态分布,^2为总体方差,d^2未知. 试 在显著性水平 alpha =0.05 下检验假设-|||-_(0):0geqslant 0.04% , _(1):0lt 0.04% .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定检验类型
由于总体方差未知，且样本量较小（n=10），因此采用卡方（$\chi^2$）检验来检验总体方差。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量为：
\[
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
\]
其中，$n=10$，$s=0.037\%$，$\sigma_0^2=(0.04\%)^2$。
步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，自由度为 $n-1=9$，查卡方分布表得到临界值 $\chi_{1-\alpha}^2(9)=3.325$。因此，拒绝域为 $\chi^2 \leq 3.325$。
步骤 4：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量公式：
\[
\chi^2 = \frac{(10-1)(0.037\%)^2}{(0.04\%)^2} = \frac{9 \times 0.001369}{0.0016} = 7.701
\]
步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于计算得到的检验统计量值 $\chi^2=7.701$ 大于临界值 $3.325$，因此不落在拒绝域内，故在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下接受原假设 ${H}_{0}:0\geqslant 0.04\%$。
由于总体方差未知，且样本量较小（n=10），因此采用卡方（$\chi^2$）检验来检验总体方差。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量为：
\[
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
\]
其中，$n=10$，$s=0.037\%$，$\sigma_0^2=(0.04\%)^2$。
步骤 3：确定拒绝域
在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，自由度为 $n-1=9$，查卡方分布表得到临界值 $\chi_{1-\alpha}^2(9)=3.325$。因此，拒绝域为 $\chi^2 \leq 3.325$。
步骤 4：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量公式：
\[
\chi^2 = \frac{(10-1)(0.037\%)^2}{(0.04\%)^2} = \frac{9 \times 0.001369}{0.0016} = 7.701
\]
步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于计算得到的检验统计量值 $\chi^2=7.701$ 大于临界值 $3.325$，因此不落在拒绝域内，故在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下接受原假设 ${H}_{0}:0\geqslant 0.04\%$。