若随机变量X、Y的协方差 cov(X,Y)=0 ,则下列结论必在确的是() ()-|||-A、X与Y独立-|||-B、 D(X,Y)=D(X)D(Y)-|||-C. ,D(X+Y)=D(X)+D(Y)-|||-D(X-Y)=D(X)-D(Y)

考查要点：本题主要考查协方差与方差的关系，以及不相关随机变量的性质。

解题核心思路：
当协方差 $\text{cov}(X,Y)=0$ 时，随机变量 $X$ 和 $Y$ 不相关。此时，需利用方差的性质公式展开 $D(X+Y)$ 和 $D(X-Y)$，结合协方差为零的条件，判断各选项的正确性。

破题关键点：

1. 不相关与独立的关系：不相关不一定独立（排除选项A）。
2. 方差公式：$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{cov}(X,Y)$（直接用于验证选项C和D）。
3. 选项B的符号错误：$D(X,Y)$ 非标准符号，且协方差为零无法推出方差乘积关系。

选项分析

选项A：$X$ 与 $Y$ 独立

• 不相关 ≠ 独立：协方差为零仅说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，但独立性要求更强（例如非正态分布时可能不相关但相关）。
• 结论：不必然成立。

选项B：$D(X,Y) = D(X)D(Y)$

• 符号错误：$D(X,Y)$ 非标准符号，方差通常为 $D(X)$ 或 $D(Y)$。
• 逻辑错误：协方差为零无法推出方差乘积关系。
• 结论：错误。

选项C：$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

• 方差公式：
  $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X,Y).$
• 代入条件：$\text{cov}(X,Y)=0$，得
  $D(X+Y) = D(X) + D(Y).$
• 结论：必然成立。

选项D：$D(X-Y) = D(X) - D(Y)$

• 方差公式：
  $D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{cov}(X,Y).$
• 代入条件：$\text{cov}(X,Y)=0$，得
  $D(X-Y) = D(X) + D(Y).$
• 选项错误：原式为 $D(X) - D(Y)$，与结果不符。
• 结论：错误。