例19.计算不定积分int(1)/(x^2)+2x+2dx

本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数的分母进行配方，然后通过换元法将积分转化为常见的标准积分形式，最后利用标准积分公式求解。

1. 对分母进行配方：
   对于二次三项式$x^{2}+2x + 2$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，在$x^{2}+2x + 2$中$a = x$，$2ab = 2x$，则$b = 1$，所以$x^{2}+2x + 2=(x + 1)^{2}+1$。
   此时原积分$\int\frac{1}{x^{2}+2x+2}dx$可化为$\int\frac{1}{(x + 1)^{2}+1}dx$。
2. 进行换元：
   令$u = x + 1$，对$u$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得$du=(x + 1)^\prime dx=dx$。
   将$u = x + 1$和$du = dx$代入$\int\frac{1}{(x + 1)^{2}+1}dx$，原积分变为$\int\frac{1}{u^{2}+1}du$。
3. 利用标准积分公式求解：
   根据标准积分公式$\int\frac{1}{u^{2}+1}du=\arctan u + C$（$C$为积分常数），可得$\int\frac{1}{u^{2}+1}du=\arctan u + C$。
4. 回代$u$：
   将$u = x + 1$代回$\arctan u + C$，得到$\arctan(x + 1) + C$。