题目
1.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85，现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为overline(x)=2.25，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间.
1.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85，现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为$\overline{x}$=2.25，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间.
题目解答
答案
为了求出这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间，我们需要使用正态分布的性质，因为总体标准差已知。置信区间的公式为：
\[
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\overline{x}$ 是样本均值，
- $z_{\alpha/2}$ 是对应于置信水平的正态分布的临界值，
- $\sigma$ 是总体标准差，
- $n$ 是样本大小。
已知：
- $\overline{x} = 2.25$，
- $\sigma = 0.85$，
- $n = 25$，
- 置信水平为0.95，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，且 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
将这些值代入公式，我们得到：
\[
2.25 \pm 1.96 \frac{0.85}{\sqrt{25}}
\]
首先，计算标准误差：
\[
\frac{0.85}{\sqrt{25}} = \frac{0.85}{5} = 0.17
\]
接下来，计算边际误差：
\[
1.96 \times 0.17 = 0.3332
\]
现在，可以找到置信区间：
\[
2.25 \pm 0.3332
\]
这给出了区间：
\[
(2.25 - 0.3332, 2.25 + 0.3332) = (1.9168, 2.5832)
\]
四舍五入到两位小数，置信区间为：
\[
(1.92, 2.58)
\]
因此，这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间是 $\boxed{(1.92, 2.58)}$。
解析
本题考查正态分布总体均值在总体标准差已知情况下的置信区间的计算。解题思路如下：
- 明确已知条件，包括样本均值$\overline{x}$、总体标准差$\sigma$、样本容量$n$以及置信水平。
- 根据置信水平计算$\alpha$的值，进而确定$z_{\alpha/2}$的值，$z_{\alpha/2}$是对应于置信水平的正态分布的临界值。
- 利用置信区间公式$\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$进行计算。
- 先计算标准误差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，再计算边际误差$z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
- 最后根据样本均值和边际误差确定置信区间。
已知$\overline{x} = 2.25$，$\sigma = 0.85$，$n = 25$，置信水平为$0.95$，则$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。
- 计算标准误差：
- 根据公式$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将$\sigma = 0.85$，$n = 25$代入可得：
- $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.85}{\sqrt{25}}=\frac{0.85}{5}=0.17$。
- 根据公式$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将$\sigma = 0.85$，$n = 25$代入可得：
- 计算边际误差：
- 边际误差为$z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将$z_{\alpha/2} = 1.96$，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0.17$代入可得：
- $z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1.96\times0.17 = 0.3332$。
- 边际误差为$z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将$z_{\alpha/2} = 1.96$，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0.17$代入可得：
- 确定置信区间：
- 置信区间为$\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，即$2.25 \pm 0.3332$。
- 下限为$2.25 - 0.3332 = 1.9168$，上限为$2.25 + 0.3332 = 2.5832$。
- 四舍五入到两位小数，置信区间为$(1.92, 2.58)$。