1.设 f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则f(x)在 x=1 处的 () .-|||-(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在,但右导数不存在-|||-(C)左导数不存在,但右导数存在 (D)左、右导数都不存在

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处的导数存在性，特别是左右导数的计算与判断。

解题核心思路：

1. 分段函数的导数需分段讨论，尤其注意分界点处的左右导数是否独立存在。
2. 导数存在的条件是函数在该点连续，但即使函数不连续，左右导数仍可能单独存在。
3. 直接代入导数表达式可能出错，必须通过导数定义严格计算左右导数的极限是否存在。

破题关键点：

• 左导数：当$x \leq 1$时，函数为$\frac{2}{3}x^3$，其导数为$2x^2$，在$x=1$处左导数为$2 \cdot 1^2 = 2$。
• 右导数：当$x > 1$时，函数为$x^2$，但需通过导数定义计算极限。由于函数在$x=1$处不连续，右导数的极限趋向无穷，故不存在。

左导数计算

当$x \leq 1$时，$f(x) = \frac{2}{3}x^3$，其导数为：
$f'(x) = 2x^2$
因此，左导数为：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{2}{3}(1+h)^3 - \frac{2}{3}}{h} = 2 \cdot 1^2 = 2$
左导数存在。

右导数计算

当$x > 1$时，$f(x) = x^2$，但需通过导数定义计算右导数：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 - \frac{2}{3}}{h}$
展开并化简：
$= \lim_{h \to 0^+} \frac{1 + 2h + h^2 - \frac{2}{3}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{3} + 2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \left( \frac{1}{3h} + 2 + h \right)$
当$h \to 0^+$时，$\frac{1}{3h} \to +\infty$，故极限不存在。右导数不存在。