中国大学MOOC: 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现对小数点后第一位进行舍入运算，则误差X可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若在一项计算中进行了100次的舍入运算，利用中心极限定理可得误差总和的绝对值不超过sqrt (3)的概率____.sqrt (3)

步骤 1：确定误差X的分布
误差X服从[-0.5, 0.5]上的均匀分布，其概率密度函数为：
$$
f(x) = \begin{cases}
1 & \text{if } -0.5 \leq x \leq 0.5 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
步骤 2：计算误差X的期望和方差
均匀分布的期望值为区间中点，即：
$$
E(X) = 0
$$
均匀分布的方差为：
$$
Var(X) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12}
$$
步骤 3：利用中心极限定理
进行100次的舍入运算，误差总和的期望值为：
$$
E(S) = 100 \times E(X) = 0
$$
误差总和的方差为：
$$
Var(S) = 100 \times Var(X) = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}
$$
误差总和的标准差为：
$$
\sigma_S = \sqrt{Var(S)} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}
$$
步骤 4：计算误差总和的绝对值不超过$5\sqrt{3}$的概率
误差总和的绝对值不超过$5\sqrt{3}$的概率为：
$$
P(|S| \leq 5\sqrt{3}) = P\left(-5\sqrt{3} \leq S \leq 5\sqrt{3}\right)
$$
利用中心极限定理，误差总和S近似服从正态分布，即：
$$
S \sim N(0, \frac{25}{3})
$$
因此，误差总和的绝对值不超过$5\sqrt{3}$的概率为：
$$
P\left(-5\sqrt{3} \leq S \leq 5\sqrt{3}\right) = P\left(-\frac{5\sqrt{3}}{\frac{5}{\sqrt{3}}} \leq \frac{S}{\frac{5}{\sqrt{3}}} \leq \frac{5\sqrt{3}}{\frac{5}{\sqrt{3}}}\right) = P(-3 \leq Z \leq 3)
$$
其中，Z为标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，有：
$$
P(-3 \leq Z \leq 3) = 2\phi(3) - 1 = 2 \times 0.9987 - 1 = 0.9974
$$