题目

18、设X~N(-3,4)，则E[(X+3)^4]为( ).(3分)bigcirc 8bigcirc 16bigcirc 4bigcirc 48

18、设X~N(-3,4)，则E[(X+3)^4]为( ). (3分) $\bigcirc$ 8 $\bigcirc$ 16 $\bigcirc$ 4 $\bigcirc$ 48

题目解答

答案

### 问题解析题目给出 $ X \sim N(-3, 4) $，表示 $ X $ 服从均值为 $-3$，方差为 $4$ 的正态分布。我们需要求 $ E[(X+3)^4] $。 ### 解析步骤 1. **标准化变量**：由于 $ X \sim N(-3, 4) $，我们可以将 $ X $ 标准化为标准正态分布 $ Z $。 \[ Z = \frac{X - (-3)}{2} = \frac{X + 3}{2} \] 这里，$ Z \sim N(0, 1) $。 2. **转换目标表达式**：我们需要求 $ E[(X+3)^4] $。根据标准化变量的定义，有： \[ X + 3 = 2Z \] 因此： \[ (X + 3)^4 = (2Z)^4 = 16Z^4 \] 3. **求期望**：现在问题转化为求 $ E[16Z^4] $： \[ E[(X+3)^4] = E[16Z^4] = 16E[Z^4] \] 4. **计算 $ E[Z^4] $**： $ Z $ 是标准正态分布，其概率密度函数为： \[ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \] $ E[Z^4] $ 可以通过积分计算： \[ E[Z^4] = \int_{-\infty}^{\infty} z^4 f(z) \, dz = \int_{-\infty}^{\infty} z^4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \, dz \] 由于 $ z^4 $ 是偶函数，积分可以简化为： \[ E[Z^4] = 2 \int_{0}^{\infty} z^4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \, dz \] 通过换元 $ u = \frac{z^2}{2} $，即 $ z = \sqrt{2u} $，$ dz = \frac{1}{\sqrt{2u}} du $，积分变为： \[ E[Z^4] = 2 \int_{0}^{\infty} (2u)^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u} \frac{1}{\sqrt{2u}} \, du = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} u^{3/2} e^{-u} \, du \] 这是一个伽玛函数 $ \Gamma $ 的形式： \[ \int_{0}^{\infty} u^{3/2} e^{-u} \, du = \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \] 伽玛函数的性质 $ \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} $ 因此： \[ E[Z^4] = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4} = 3 \] 5. **最终结果**： \[ E[(X+3)^4] = 16E[Z^4] = 16 \cdot 3 = 48 \] ### 答案 \[ \boxed{48} \]

解析

本题主要考察正态分布的性质、随机变量的期望计算以及伽玛函数的应用。核心思路是通过标准化将非标准正态分布转化为标准正态分布，再利用标准正态分布的高阶矩公式计算目标期望。

1. 标准化变量

已知$X \sim N(-3, 4)$，即均值$\mu=-3$，方差$\sigma^2=4$（标准差$\sigma=2$）。
标准化变换为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X + 3}{2}$
则$Z \sim N(0, 1)$（标准正态分布）。

2. 转换目标表达式

需计算$E[(X+3)^4]$，由标准化变量得：
$X + 3 = 2Z$
代入得：
$(X+3)^4 = (2Z)^4 = 16Z^4$

3. 计算$E[Z^4]$（标准正态分布的4阶矩）

标准正态分布$Z$的概率密度函数为：
$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$
4阶矩定义为：
$E[Z^4] = \int_{-\infty}^{\infty} z^4 f(z)dz$

积分简化与换元

由于$z^4$是偶函数，积分可简化为：
$E[Z^4] = 2 \int_{0}^{\infty} z^4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz$

令$u = \frac{z^2}{2}$，则$z = \sqrt{2u}$，$dz = \frac{1}{\sqrt{2u}}du$，代入积分：
$E[Z^4] = 2 \int_{0}^{\infty} (2u)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u} \cdot \frac{1}{\sqrt{2u}}du$
化简得：
$E[Z^4] = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} u^{3/2}e^{-u}du$

4. 伽玛函数计算

积分$\int_{0}^{\infty} u^{3/2}e^{-u}du$是伽玛函数$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$，伽玛函数性质：
$\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = \left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
对$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$：
$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$

5. 最终结果

$E[Z^4] = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4} = 3$
$E[(X+3)^4] = 16E[Z^4] = 16 \times 3 = 48$