题目
已知样本X1,X2,···,X10为来自总体X1,X2,···,X10的随机样本，设X1,X2,···,X10，求X1,X2,···,X10
已知样本
为来自总体
的随机样本，设
，求
题目解答
答案
题目已知样本为来自总体的随机样本
则利用中心极限定理可得：
利用卡方分布性质可得：
由此可得：
解得：
于是
故答案为：
解析
步骤 1：确定样本的分布
已知样本$X_1, X_2, \cdots, X_{10}$为来自总体$X \sim N(1, 4)$的随机样本，即每个$X_i$都服从均值为1，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化样本
利用中心极限定理，可以将每个$X_i$标准化，即$\dfrac{X_i - 1}{2} \sim N(0, 1)$。这一步是为了将样本转换为标准正态分布，以便于后续的卡方分布的使用。
步骤 3：构造卡方分布
根据卡方分布的性质，$\sum_{i=1}^{10} \left(\dfrac{X_i - 1}{2}\right)^2 \sim \chi^2(10)$。因此，$\dfrac{1}{4}T = \dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^{10} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(10)$。这里$T = \sum_{i=1}^{10} (X_i - 1)^2$。
步骤 4：计算期望和方差
由于$\dfrac{1}{4}T \sim \chi^2(10)$，根据卡方分布的性质，$E\left(\dfrac{1}{4}T\right) = 10$，$D\left(\dfrac{1}{4}T\right) = 20$。由此可得$E(T) = 40$，$D(T) = 320$。
步骤 5：计算$E(T^2)$
利用方差的定义$D(T) = E(T^2) - [E(T)]^2$，代入$D(T) = 320$和$E(T) = 40$，解得$E(T^2) = 360$。
已知样本$X_1, X_2, \cdots, X_{10}$为来自总体$X \sim N(1, 4)$的随机样本，即每个$X_i$都服从均值为1，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化样本
利用中心极限定理，可以将每个$X_i$标准化，即$\dfrac{X_i - 1}{2} \sim N(0, 1)$。这一步是为了将样本转换为标准正态分布，以便于后续的卡方分布的使用。
步骤 3：构造卡方分布
根据卡方分布的性质，$\sum_{i=1}^{10} \left(\dfrac{X_i - 1}{2}\right)^2 \sim \chi^2(10)$。因此，$\dfrac{1}{4}T = \dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^{10} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(10)$。这里$T = \sum_{i=1}^{10} (X_i - 1)^2$。
步骤 4：计算期望和方差
由于$\dfrac{1}{4}T \sim \chi^2(10)$，根据卡方分布的性质，$E\left(\dfrac{1}{4}T\right) = 10$，$D\left(\dfrac{1}{4}T\right) = 20$。由此可得$E(T) = 40$，$D(T) = 320$。
步骤 5：计算$E(T^2)$
利用方差的定义$D(T) = E(T^2) - [E(T)]^2$，代入$D(T) = 320$和$E(T) = 40$，解得$E(T^2) = 360$。