题目

1.(1)已知P(overline(A))=0.3，P(B)=0.4，P(Aoverline(B))=0.5，求P(B|A∪B);(2)已知P(A)=(1)/(4)，P(B|A)=(1)/(3)，P(A|B)=(1)/(2)，求P(A∪B).

1.(1)已知$P(\overline{A})=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(A\overline{B})=0.5$，求$P(B|A∪B)$; (2)已知$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$，求$P(A∪B)$.

题目解答

答案

  1. 求 $P(B|A \cup \overline{B})$
    由题意得：
    $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 0.7$，
    $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.6$，
    $P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.2$，
    $P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A\overline{B}) = 0.8$，
    故 $P(B|A \cup \overline{B}) = \frac{P(AB)}{P(A \cup \overline{B})} = 0.25$。

  2. 求 $P(A \cup B)$
    由条件概率公式：
    $P(AB) = P(B|A)P(A) = \frac{1}{12}$，
    $P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{1}{6}$，
    故 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$。

答案：

  1. $0.25$
  2. $\frac{1}{3}$

解析

1. 第（1）题分析
本题考查条件概率的计算和事件运算。关键在于正确理解所求概率的事件结构，利用已知概率推导中间量（如$P(AB)$），并应用条件概率公式。注意题目中可能存在笔误，实际应为求$P(B|A \cup \overline{B})$，需结合事件关系简化计算。

2. 第（2）题分析
本题考查条件概率的相互关系和全概率公式。需通过联立方程求解$P(B)$，再利用加法公式计算$P(A \cup B)$。核心思路是通过$P(B|A)$和$P(A|B)$建立方程，求出$P(AB)$和$P(B)$。

第（1）题

步骤1：计算基本概率

  • $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$
  • $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$

步骤2：求$P(AB)$

由$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$，得：
$P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$

步骤3：求$P(A \cup \overline{B})$

根据并集公式：
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A\overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$

步骤4：计算条件概率

$P(B|A \cup \overline{B}) = \frac{P(AB)}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$

第（2）题

步骤1：求$P(AB)$

由条件概率公式：
$P(AB) = P(B|A)P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

步骤2：求$P(B)$

由$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，得：
$P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}$

步骤3：求$P(A \cup B)$

根据加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$