设 f(x) 为微分方程 y' - xy = g(x) 满足 y(0) = 1 的解，而 g(x) = int_(0)^x sin(x-t)^2 , dt，则（）(A) 在点 x=0 处 f(x) 取极大值.(B) 在点 x=0 处 f(x) 取极小值.(C) 点 (0, f(0)) 为曲线 y = f(x) 的拐点.(D) x=0 不是 f(x) 极值点，也不是拐点.

我们来逐步分析这个题目。

题目回顾

设函数 $ f(x) $ 是微分方程
$y' - xy = g(x)$
满足初始条件 $ y(0) = 1 $ 的解，其中
$g(x) = \int_0^x \sin\left((x - t)^2\right) \, dt$
问：在 $ x = 0 $ 处，$ f(x) $ 的性质是什么？
选项涉及极值点、拐点等。

第一步：理解 $ g(x) $ 的结构

我们有：
$g(x) = \int_0^x \sin\left((x - t)^2\right) \, dt$

这是一个变上限积分，且被积函数中含有 $ x $，即积分变量是 $ t $，但被积函数依赖于 $ x $ 和 $ t $，因此不能直接用牛顿-莱布尼茨公式求导，但可以使用含参变量积分的求导公式。

我们做变量替换，令 $ u = x - t $，则当 $ t = 0 $ 时，$ u = x $；当 $ t = x $ 时，$ u = 0 $，且 $ dt = -du $。

所以：
$g(x) = \int_{u=x}^{u=0} \sin(u^2) (-du) = \int_0^x \sin(u^2) \, du$

关键发现：
$g(x) = \int_0^x \sin(u^2) \, du$

这个函数是著名的菲涅尔积分（Fresnel integral）的一部分，但我们不需要具体表达式，只需要分析其在 $ x=0 $ 附近的性质。

第二步：计算 $ g(0) $ 和 $ g'(x) $

由上式：
$g(x) = \int_0^x \sin(u^2) \, du \Rightarrow g(0) = 0$

由微积分基本定理：
$g'(x) = \sin(x^2)$

继续求导：
$g''(x) = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = 2x \cos(x^2)$

第三步：解微分方程或分析 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 的性质

微分方程：
$y' - x y = g(x), \quad y(0) = 1$

这是一个一阶线性微分方程，我们可以用积分因子法求解，但题目不要求具体解，只问 $ x=0 $ 处的性质（极值、拐点等），所以我们只需分析 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 附近的导数和二阶导数。

记 $ f(x) $ 是满足该方程的解，且 $ f(0) = 1 $。

我们来逐阶求导 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处的值。

1. 求 $ f'(0) $

由微分方程：
$f'(x) = x f(x) + g(x)$

代入 $ x = 0 $：
$f'(0) = 0 \cdot f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0$

所以：一阶导数为 0，说明 $ x=0 $ 是驻点，可能是极值点或拐点。

2. 求 $ f''(0) $

对 $ f'(x) = x f(x) + g(x) $ 两边求导：
$f''(x) = \frac{d}{dx} [x f(x)] + g'(x) = f(x) + x f'(x) + g'(x)$

代入 $ x = 0 $：
$f''(0) = f(0) + 0 \cdot f'(0) + g'(0) = 1 + 0 + \sin(0^2) = 1 + 0 = 1$

所以：二阶导数 $ f''(0) = 1 > 0 $

3. 分析极值

由于：

• $ f'(0) = 0 $
• $ f''(0) = 1 > 0 $

根据极值的二阶导数判别法，函数在 $ x=0 $ 处取得极小值。

4. 是否为拐点？

拐点要求：二阶导数变号，且通常 $ f''(x_0) = 0 $ 或不存在。

但这里 $ f''(0) = 1 \ne 0 $，且连续（因为 $ f(x), f'(x), g'(x) $ 都连续），所以 $ f''(x) $ 在 $ x=0 $ 附近为正，不会变号。

因此，$ (0, f(0)) $ 不是拐点。

结论

• $ f'(0) = 0 $，$ f''(0) > 0 $ → 极小值点
• 不是拐点

所以正确选项是：

$\boxed{\text{(B) 在点 } x=0 \text{ 处 } f(x) \text{ 取极小值。}}$

答案：\boxed{B}