题目
3.假设X，X_(1)，X_(2)，…，X_(10)是来自正态总体N(0，sigma^2)的简单随机样本，Y^2=(1)/(10)sum_(i=1)^10X_(i)^2，则（）.A. X^2sim x^2(1)B. Y^2sim x^2(10)C. (X)/(Y)sim t(10)D. (X^2)/(Y^2)sim F(10,1)
3.假设X，$X_{1}$，$X_{2}$，…，$X_{10}$是来自正态总体N(0，$\sigma^{2}$)的简单随机样本，$Y^{2}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_{i}^{2}$，则（）.
A. $X^{2}\sim x^{2}(1)$
B. $Y^{2}\sim x^{2}(10)$
C. $\frac{X}{Y}\sim t(10)$
D. $\frac{X^{2}}{Y^{2}}\sim F(10,1)$
题目解答
答案
D. $\frac{X^{2}}{Y^{2}}\sim F(10,1)$
解析
步骤 1：分析选项A
$X^2$ 除以 $\sigma^2$ 才服从 $\chi^2(1)$，直接 $X^2$ 不符合，错误。
步骤 2：分析选项B
$Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$，除以 $\sigma^2$ 后服从 $\chi^2(10)/10$，非 $\chi^2(10)$，错误。
步骤 3：分析选项C
$\frac{X}{Y}$ 中 $Y$ 非标准形式，无法构成 t 分布，错误。
步骤 4：分析选项D
$\frac{X^2}{Y^2} = \frac{\frac{X^2}{\sigma^2}}{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{X_i^2}{\sigma^2}}$，分子服从 $\chi^2(1)$，分母服从 $\chi^2(10)/10$，符合 $F(1,10)$ 定义，正确。
$X^2$ 除以 $\sigma^2$ 才服从 $\chi^2(1)$，直接 $X^2$ 不符合，错误。
步骤 2：分析选项B
$Y^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2$，除以 $\sigma^2$ 后服从 $\chi^2(10)/10$，非 $\chi^2(10)$，错误。
步骤 3：分析选项C
$\frac{X}{Y}$ 中 $Y$ 非标准形式，无法构成 t 分布，错误。
步骤 4：分析选项D
$\frac{X^2}{Y^2} = \frac{\frac{X^2}{\sigma^2}}{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} \frac{X_i^2}{\sigma^2}}$，分子服从 $\chi^2(1)$，分母服从 $\chi^2(10)/10$，符合 $F(1,10)$ 定义，正确。