题目
频率 个-|||-组距-|||-0.00020|-|||-0.00015-|||-0.00009-|||-0.00003-|||-0 20004000 6000 8000 10000 失/元2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县(市、区)189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出频率分布直方图．(Ⅰ)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？ (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E(ξ)和方差D(ξ)． 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 附：K^2= dfrac (n(ad-bc)^2)((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，其中n=a+b+c+d P(K^2geqslant k_(0)) 0.050 0.010 0.001 k_(0) 3.841 6.635 10.828
$2016$年$10$月$21$日，台风“海马”导致江苏、福建、广东$3$省$11$市$51$个县$($市、区$)189.9$万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的$100$户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成$[0,2000]$，$(2000,4000]$，$(4000,6000]$，$(6000,8000]$，$(8000,10000]$五组，并作出频率分布直方图．$($Ⅰ$)$台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的$100$户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过$0.05$的前提下认为捐款数额超过或不超过$500$元和自身经济损失是否超过$4000$元有关？
$($Ⅱ$)$将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取$1$户居民，抽取$3$次，记被抽取的$3$户居民中自身经济损失超过$4000$元的人数为$ξ$，若每次抽取的结果是相互独立的，求$ξ$的分布列，期望$E(ξ)$和方差$D(ξ)$．
| 经济损失不超过$4000$元 | 经济损失超过$4000$元 | 总计 | |
| 捐款超过$500$元 | $60$ | ||
| 捐款不超过$500$元 | $10$ | ||
| 总计 |
| $P(K^{2}\geqslant k_{0})$ | $0.050$ | $0.010$ | $0.001$ |
| $k_{0}$ | $3.841$ | $6.635$ | $10.828$ |
题目解答
答案
解：$($Ⅰ$)$由频率分布直方图可知，在抽取的$100$户中，经济损失不超过$4000$元的有$70$户，经济损失超过$4000$元的有$30$户，则表格数据如下
$k^{2}$的观测值$k= \dfrac {100×(60×10-10×20)^{2}}{80\times 20\times 70\times 30}≈4.762.$因为$4.762 > 3.841$，$P(K^{2}\geqslant 3.841)=0.05.$所以可以在犯错误的概率不超过$0.05$的前提下认为捐款数额多于或少于$500$元和自身经济损失是否到$4000$元有关．
$($Ⅱ$)$由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过$4000$元的居民的频率为$0.3$，将频率视为概率，由题意知$ξ$的取值可能有$0$，$1$，$2$，$3$，$ξ～B(3, \dfrac {3}{10})$，$P(ξ=0)= C_{ 3 }^{ 0 }( \dfrac {3}{10})^{0}( \dfrac {7}{10})^{3}= \dfrac {343}{1000}$，$P(ξ=1)= C_{ 3 }^{ 1 }( \dfrac {3}{10})^{1}( \dfrac {7}{10})^{2}= \dfrac {441}{1000}$，$P(ξ=2)= C_{ 3 }^{ 2 }( \dfrac {3}{10})^{2}( \dfrac {7}{10})^{1}= \dfrac {189}{1000}$，$P(ξ=3)= C_{ 3 }^{ 3 }( \dfrac {3}{10})^{3}( \dfrac {7}{10})^{0}= \dfrac {27}{1000}$，
从而$ξ$的分布列为
$E(ξ)=np=3× \dfrac {3}{10}=0.9$，$D(ξ)=np(1-p)=3× \dfrac {3}{10}× \dfrac {7}{10}=0.63$．
| 经济损失不超过$4000$元 | 经济损失超过$4000$元 | 总计 | |
| 捐款超过$500$元 | $60$ | $20$ | $80$ |
| 捐款不超过$500$元 | $10$ | $10$ | $20$ |
| 总计 | $70$ | $30$ | $100$ |
$($Ⅱ$)$由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过$4000$元的居民的频率为$0.3$，将频率视为概率，由题意知$ξ$的取值可能有$0$，$1$，$2$，$3$，$ξ～B(3, \dfrac {3}{10})$，$P(ξ=0)= C_{ 3 }^{ 0 }( \dfrac {3}{10})^{0}( \dfrac {7}{10})^{3}= \dfrac {343}{1000}$，$P(ξ=1)= C_{ 3 }^{ 1 }( \dfrac {3}{10})^{1}( \dfrac {7}{10})^{2}= \dfrac {441}{1000}$，$P(ξ=2)= C_{ 3 }^{ 2 }( \dfrac {3}{10})^{2}( \dfrac {7}{10})^{1}= \dfrac {189}{1000}$，$P(ξ=3)= C_{ 3 }^{ 3 }( \dfrac {3}{10})^{3}( \dfrac {7}{10})^{0}= \dfrac {27}{1000}$，
从而$ξ$的分布列为
| $ξ$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $P$ | $ \dfrac {343}{1000}$ | $ \dfrac {441}{1000}$ | $ \dfrac {189}{1000}$ | $ \dfrac {27}{1000}$ |