题目

lim _(x arrow 0)(sin 3x + e^2x)^(1)/(ln (1-x))

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin 3x + e^{2x}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$

题目解答

答案

设 $y = (\sin 3x + e^{2x})^{\frac{1}{\ln(1-x)}}$，取对数得
$\ln y = \frac{\ln(\sin 3x + e^{2x})}{\ln(1-x)}$
当 $x \to 0$ 时，$\sin 3x \to 0$，$e^{2x} \to 1$，故 $\sin 3x + e^{2x} \to 1$，且 $\ln(\sin 3x + e^{2x}) \to 0$，$\ln(1-x) \to 0$。
应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3\cos 3x + 2e^{2x}}{\sin 3x + e^{2x}}}{-\frac{1}{1-x}} = \lim_{x \to 0} -\frac{(1-x)(3\cos 3x + 2e^{2x})}{\sin 3x + e^{2x}} = -5$
因此，$\lim_{x \to 0} y = e^{-5}$。

答案： $\boxed{e^{-5}}$（或$\boxed{\frac{1}{e^5}}$）

解析

本题考查的知识点是利用对数恒等式和洛必达法则求极限。解题思路如下：

  1. 对于幂指函数$y = (\sin 3x + e^{2x})^{\frac{1}{\ln(1 - x)}}$，由于其形式复杂，直接求极限较困难，我们采用对数恒等式$y = e^{\ln y}$，将其转化为$y = e^{\frac{\ln(\sin 3x + e^{2x})}{\ln(1 - x)}}$，这样就可以先求$\lim_{x \to 0} \ln y$，再根据指数函数的连续性求出$\lim_{x \to 0} y$。
  2. 当$x \to 0$时，$\sin 3x \to 0$，$e^{2x} \to 1$，所以$\sin 3x + e^{2x} \to 1$，进而$\ln(\sin 3x + e^{2x}) \to 0$，同时$\ln(1 - x) \to 0$，此时$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\sin 3x + e^{2x})}{\ln(1 - x)}$是$\frac{0}{0}$型的未定式，可使用洛必达法则。
  3. 对分子分母分别求导，根据求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{u^\prime}{u}$，$(\sin u)^\prime = \cos u\cdot u^\prime$，$(e^u)^\prime = e^u\cdot u^\prime$，$(\ln(1 - x))^\prime = \frac{-1}{1 - x}$，可得：
    • 分子$\ln(\sin 3x + e^{2x})$的导数为$\frac{3\cos 3x + 2e^{2x}}{\sin 3x + e^{2x}}$。
    • 分母$\ln(1 - x)$的导数为$-\frac{1}{1 - x}$。
    • 则$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3\cos 3x + 2e^{2x}}{\sin 3x + e^{2x}}}{-\frac{1}{1 - x}}$。
  4. 化简上式：
    • $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3\cos 3x + 2e^{2x}}{\sin 3x + e^{2x}}}{-\frac{1}{1 - x}}=\lim_{x \to 0} -\frac{(1 - x)(3\cos 3x + 2e^{2x})}{\sin 3x + e^{2x}}$。
  5. 计算极限值：
    • 将$x = 0$代入$-\frac{(1 - x)(3\cos 3x + 2e^{2x})}{\sin 3x + e^{2x}}$可得：
      • $-\frac{(1 - 0)(3\cos(3\times0) + 2e^{2\times0})}{\sin(3\times0) + e^{2\times0}}=-\frac{1\times(3\times1 + 2\times1)}{0 + 1}=-\frac{3 + 2}{1}=-5$。
    • 即$\lim_{x \to 0} \ln y = -5$。
  6. 因为$y = e^{\ln y}$，根据指数函数的连续性$\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} e^{\ln y}=e^{\lim_{x \to 0} \ln y}$，所以$\lim_{x \to 0} y = e^{-5}$。