题目
6.求曲线 ) x+t(1-t)=0 t(e)^y+y+1=0 . 在对应于 t=0 的点处的切线方程
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线在 t=0 时的点
将 t=0 代入曲线方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+t(1-t)=0\\ t{e}^{y}+y+1=0\end{matrix} \right.$，得到：
$x+0(1-0)=0$，即 $x=0$；
$0{e}^{y}+y+1=0$，即 $y=-1$。
因此，曲线在 t=0 时的点为 (0, -1)。
步骤 2：求曲线在 t=0 时的导数
对曲线方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+t(1-t)=0\\ t{e}^{y}+y+1=0\end{matrix} \right.$ 对 t 求导，得到：
$\dfrac {dx}{dt}=-1$；
$\dfrac {dy}{dt}=-{e}^{-1}$。
因此，曲线在 t=0 时的导数为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {-{e}^{-1}}{-1}={e}^{-1}$。
步骤 3：求曲线在 t=0 时的切线方程
根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 m 为斜率，(x_1, y_1) 为点，代入 m=${e}^{-1}$，(x_1, y_1)=(0, -1)，得到：
$y-(-1)={e}^{-1}(x-0)$，即 $y={e}^{-1}x-1$。
将 t=0 代入曲线方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+t(1-t)=0\\ t{e}^{y}+y+1=0\end{matrix} \right.$，得到：
$x+0(1-0)=0$，即 $x=0$；
$0{e}^{y}+y+1=0$，即 $y=-1$。
因此，曲线在 t=0 时的点为 (0, -1)。
步骤 2：求曲线在 t=0 时的导数
对曲线方程组 $\left \{ \begin{matrix} x+t(1-t)=0\\ t{e}^{y}+y+1=0\end{matrix} \right.$ 对 t 求导，得到：
$\dfrac {dx}{dt}=-1$；
$\dfrac {dy}{dt}=-{e}^{-1}$。
因此，曲线在 t=0 时的导数为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {-{e}^{-1}}{-1}={e}^{-1}$。
步骤 3：求曲线在 t=0 时的切线方程
根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 m 为斜率，(x_1, y_1) 为点，代入 m=${e}^{-1}$，(x_1, y_1)=(0, -1)，得到：
$y-(-1)={e}^{-1}(x-0)$，即 $y={e}^{-1}x-1$。