20、假设样本X_(1),X_(2),L,X_(n)来自正态总体N(mu,sigma^2)，overline(X)为样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是（）A. (overline(X)-mu)/(S_(1))sqrt(n-1)B. (overline(X)-mu)/(S_(2))sqrt(n-1)C. (overline(X)-mu)/(S_(3))sqrt(n)D. (overline(X)-mu)/(S_(4))sqrt(n)

本题考查正态总体下样本均值与样本方差的性质以及$t$分布的定义。解题的关键在于明确$t$分布的构造形式，即一个标准正态分布的随机变量除以一个自由度为$n - 1$的$\chi^{2}$分布随机变量除以其自由度后的平方根。

步骤一：明确已知条件

已知样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$，$\overline{X}$为样本均值。根据正态总体的性质可知：

• 样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，对其进行标准化变换，令$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，则$Z\sim N(0,1)$。
• 样本方差$S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$，且$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$。

步骤二：根据$t$分布的定义构造随机变量

$t$分布的定义为：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
在本题中，$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，$Y=\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}$，自由度$n$替换为$n - 1$，则有：
$\begin{align*}T&=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}}{n - 1}}}\\&=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{\sigma^{2}}}}\\&=\frac{\overline{X}-\mu}{S}\sqrt{n}\end{align*}$
这里$S$为样本标准差，即$S = \sqrt{S^{2}}$。

步骤三：分析各选项

• 选项A：$\frac{\overline{X}-\mu}{S_{1}}\sqrt{n - 1}$，与我们根据$t$分布定义构造出的随机变量形式不同，所以A选项错误。
• 选项B：$\frac{\overline{X}-\mu}{S_{2}}\sqrt{n - 1}$，当$S_{2}$为样本标准差$S$时，该式符合$t$分布的构造形式，所以B选项正确。
• 选项C：$\frac{\overline{X}-\mu}{S_{3}}\sqrt{n}$，虽然形式上与我们构造的随机变量有相似之处，但没有明确$S_{3}$的含义，且与正确的$t$分布构造形式不完全一致，所以C选项错误。
• 选项D：$\frac{\overline{X}-\mu}{S_{4}}\sqrt{n}$，同样没有明确$S_{4}$的含义，且与正确的$t$分布构造形式不完全一致，所以D选项错误。