设总体 X 的概率密度为 f(x)= } (3x^2)/(theta^3), & 0 leq x leq theta, 0, & (其他)

考查要点：本题主要考查矩估计法的应用，需要根据总体的期望（一阶原点矩）与样本均值建立方程，从而求解参数的矩估计量。

解题核心思路：

1. 计算总体的期望：根据给定的概率密度函数，计算总体$X$的期望$E(X)$。
2. 建立矩估计方程：将总体期望$E(X)$与样本均值$\overline{X}$相等，得到方程。
3. 解方程求参数：通过方程解出参数$\theta$的表达式，即为矩估计量。

破题关键点：

• 正确计算积分：注意积分区间为$[0, \theta]$，被积函数为$x \cdot \frac{3x^2}{\theta^3}$。
• 代数变形：将方程$\frac{3\theta}{4} = \overline{X}$变形为$\theta$的表达式。

步骤1：计算总体期望$E(X)$

总体$X$的期望为：
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{3x^2}{\theta^3} \, dx = \frac{3}{\theta^3} \int_{0}^{\theta} x^3 \, dx$

步骤2：计算积分

积分$\int_{0}^{\theta} x^3 \, dx$的结果为：
$\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\theta} = \frac{\theta^4}{4}$

因此：
$E(X) = \frac{3}{\theta^3} \cdot \frac{\theta^4}{4} = \frac{3\theta}{4}$

步骤3：建立矩估计方程

根据矩估计法，令总体期望等于样本均值：
$\frac{3\theta}{4} = \overline{X}$

步骤4：解方程求$\theta$

解得：
$\theta = \frac{4}{3} \overline{X}$