题目
5.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10%，问至少应该抽取多少个产品检查才能保证拒绝该批产品的概率达到0.9?
5.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10%，问至少应该抽取多少个产品检查才能保证拒绝该批产品的概率达到0.9?
题目解答
答案
设卵为至少应抽取的产品数,X为其中的次品数X=J,第k次检查时为次品,2分fe =lo,第是次检查时为正品,则X = EE=iXk，E(Xk) = 0.1,D(Xk) = pg =0.1 fl-0.1:=0.09,由德莫佛一拉普拉斯定理,有p10VXEn)= 二Vf-醉°二《广-:也J 2分1、(3由)-叫端]当n充分大时,0(3A)《 0(+oo)=1,由题意端]* 2分心]=。·]查正态分布表可得:号辩 =-1.28,所以取n=147可满足要求。
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为抽取的产品中的次品数，X服从二项分布B(n, p)，其中n为抽取的产品数，p为次品率，即p=0.1。
步骤 2：应用中心极限定理
当n足够大时，二项分布B(n, p)可以近似为正态分布N(np, np(1-p))。因此，X近似服从正态分布N(0.1n, 0.09n)。
步骤 3：计算概率
我们需要计算P(X > 10) ≥ 0.9。根据正态分布的性质，可以将X标准化为Z = (X - np) / sqrt(np(1-p))，则Z服从标准正态分布N(0, 1)。因此，我们需要计算P(Z > (10 - 0.1n) / sqrt(0.09n)) ≥ 0.9。
步骤 4：查标准正态分布表
查标准正态分布表，找到P(Z > z) = 0.9对应的z值。根据标准正态分布表，P(Z > -1.28) ≈ 0.9。因此，我们需要(10 - 0.1n) / sqrt(0.09n) ≤ -1.28。
步骤 5：求解不等式
解不等式(10 - 0.1n) / sqrt(0.09n) ≤ -1.28，得到n ≥ 147.04。因此，至少应该抽取148个产品检查才能保证拒绝该批产品的概率达到0.9。
设X为抽取的产品中的次品数，X服从二项分布B(n, p)，其中n为抽取的产品数，p为次品率，即p=0.1。
步骤 2：应用中心极限定理
当n足够大时，二项分布B(n, p)可以近似为正态分布N(np, np(1-p))。因此，X近似服从正态分布N(0.1n, 0.09n)。
步骤 3：计算概率
我们需要计算P(X > 10) ≥ 0.9。根据正态分布的性质，可以将X标准化为Z = (X - np) / sqrt(np(1-p))，则Z服从标准正态分布N(0, 1)。因此，我们需要计算P(Z > (10 - 0.1n) / sqrt(0.09n)) ≥ 0.9。
步骤 4：查标准正态分布表
查标准正态分布表，找到P(Z > z) = 0.9对应的z值。根据标准正态分布表，P(Z > -1.28) ≈ 0.9。因此，我们需要(10 - 0.1n) / sqrt(0.09n) ≤ -1.28。
步骤 5：求解不等式
解不等式(10 - 0.1n) / sqrt(0.09n) ≤ -1.28，得到n ≥ 147.04。因此，至少应该抽取148个产品检查才能保证拒绝该批产品的概率达到0.9。