六、(本题12分)设f(x)是[-1,1]上的二阶可导的奇函数，证明：存在xiin(-1,1)，使得f''(xi)-f'(xi)+f(1)=0.

定义辅助函数 $g(x) = e^{-x} f(x) - f(1)(1 - e^{-x})$。 计算得 $g(0) = 0$，且 - 当 $f(1) = 0$ 时，$g(1) = 0$，由罗尔定理知存在 $\eta \in (0,1)$ 使 $g'(\eta) = 0$； - 当 $f(1) \neq 0$ 时，$g(-1) = -f(1)$ 与 $g(1) = f(1)(2e^{-1} - 1)$ 异号，故存在 $\zeta \in (-1,1)$ 使 $g(\zeta) = 0$，再由罗尔定理知存在 $\eta \in (0, \zeta)$ 使 $g'(\eta) = 0$。 由 $g'(x) = e^{-x}[f'(x) - f(x) + f(1)]$，得 $f'(\eta) - f(\eta) + f(1) = 0$。 对 $h(x) = e^{-x}[f'(x) - f(x) + f(1)]$ 求导并应用罗尔定理，得存在 $\xi \in (0, \eta)$ 满足 \[ f''(\xi) - f'(\xi) + f(1) = 0. \] **答案：** \[ \boxed{\xi \in (-1,1)} \]