有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生,为了进行验证,研究人员把自愿参与实验的22 000人随机平均分成两组,一组人员每星期服用三次阿司匹林(样本1),另一组人员在相同的时间服用安慰剂 (样本2)持续3年之后进行检测,样本1中有104人患心脏病,样本2中有189人患心脏病。以a = 0. 05的显著性水平检验服用阿司匹林是否可以降低心脏病发生率。参考答案:

步骤 1：定义假设
- 原假设 \(H_0\)：服用阿司匹林和服用安慰剂的心脏病发生率相同，即 \(p_1 = p_2\)。
- 备择假设 \(H_1\)：服用阿司匹林的心脏病发生率低于服用安慰剂，即 \(p_1 < p_2\)。

步骤 2：计算样本比例
- 样本1（服用阿司匹林）中患心脏病的比例 \(p_1 = \frac{104}{11000} = 0.00945\)。
- 样本2（服用安慰剂）中患心脏病的比例 \(p_2 = \frac{189}{11000} = 0.01718\)。

步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 \(Z = \frac{p_1 - p_2}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\)。
- 代入数据：\(Z = \frac{0.00945 - 0.01718}{\sqrt{\frac{0.00945(1-0.00945)}{11000} + \frac{0.01718(1-0.01718)}{11000}}} = -5.00\)。

步骤 4：确定临界值
- 以显著性水平 \(a = 0.05\)，单尾检验的临界值为 \(Z_{0.05} = -1.645\)。

步骤 5：比较检验统计量和临界值
- 检验统计量 \(Z = -5.00\) 小于临界值 \(Z_{0.05} = -1.645\)，因此拒绝原假设 \(H_0\)。